Analysis

Polynome

Das Programm berechnet das Produkt und den Quotienten von zwei Polynomen.

1. Polynom :  x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1
2. Polynom :  x^2 + 2x + 1

   Produkt :  x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1
   Quotient:  x^2 + 2x + 1
   Rest    :  0

Funktionsplotter 1

Es können bis zu fünf Funktionen gleichzeitig in einem Koordinatensystem gezeichnet werden. Erlaubt sind auch Verknüpfungen oder Ableitungen von bereits definierten Funktionen.

Sei  f1(x)=sin(x) und f2(x)=3*sqr(x), dann ersetzt
f3(x)=2*y1^2-y2       f3(x)=2*sin(x)^2-3*sqr(x)
f4(x)=f2(y1)          f4(x)=3*sqr(sin(x))
f5(x)=y2'             f5(x)=3/(2*sqr(x))

Beispiel: f1(x)=sin(x),   f2(x)=x   und   f3(x)=y1+y2


Funktionsplotter 2

Gezeichnet wird eine abschnittsweise definierte Funktion, die durch fünf Teilfunktionen gegeben ist. Für jede der Teilfunktionen werden der Definitionsbereich, die Art des Intervalls und die Farbe eingegeben. Außerdem kann bestimmt werden, ob die Randpunkte gezeichnet werden oder nicht.


Kurvenscharen

Das Programm zeichnet die Schaubilder von beliebigen Funktionen, die einen Scharparameter k enthalten. Die Werte für k können aufgelistet oder durch Anfangswert, Endwert und Schrittweite bestimmt werden.

    f(x,k) = sin(x+k)

    k von -2 bis 2 mit Schrittweite Pi/4


Kurvendiskussion

Das Programm führt für eine beliebige Funktion die Kurvendiskussion durch. Das heißt, es werden die Ableitungen bestimmt, die Funktion wird auf Nullstellen, Extrema und auf Wendepunkte untersucht, die Schaubilder von f, f' und f" werden gezeichnet, und eine Wertetabelle wird ausgegeben.

Funktion :
==========
  f (x) = x^3-3*x+5
  Untersuchung von -10  bis  10

Ableitungen :
=============
  f'(x) = (x^2-1)*3
  f"(x) = 6*x

Nullstellen :
=============
  N1(-2,27902|0)  m = + 12,5818

Extrema :
=========
  H1(-1|7)        m = 0
  T1(1|3)         m = 0

Wendepunkte :
=============
  W1(0|5)         m = - 3

Newton-Iteration

Bei der Newton-Iteration handelt es sich um ein Näherungsverfahren zur Berechnung einer Nullstelle von f(x). Gibt man einen Startwert x0 ein, der nahe genug an der gesuchten Nullstelle liegt, so wird als nächste Näherung der Schnitt der Tangente an den Graph von f im Punkt P(x0 / f(x0)) berechnet.

f(x) = x-cos(x)      x(0) = 1
                     x(1) = .75036387
                     x(2) = .73911289
                     x(3) = .73908513
                     x(4) = .73908513

Integralrechnung

Berechnet wird der orientierte und der absolute Inhalt der Fläche zwischen zwei Funktionskurven in einem gewünschten Intervall. Außerdem werden bestimmt :
- die Drehmomente bei Drehung um die x- bzw. y-Achse,
- die dabei überstrichenen Rotationsvolumen und
- der Schwerpunkt der Fläche

f1(x) = 4-x^2
f2(x) = (x-1)^2

Integrationsintervall [a;b]  von 1  bis 3

Orientierter Inhalt: A1 = -3,33333

Absoluter Inhalt   : A2 = 6,17342

Drehmomente        : Mx = 2,33333    My = -10,6667

Rotationsvolumen   : Vx = 14,6608    Vy = -67,0206

Schwerpunkt        : S(3,2|-0,7)

Parameterkurven

Mit diesem Programm lassen sich Kurven zeichnen, die nicht durch einen expliziten Funktionsterm gegeben sind, sondern durch zwei Funktionen für die horizontale und vertikale Auslenkung.

Einfache Beispiele sind:

 1. Der Kreis     x(k)=sin(k), y(k)=cos(k),  
                  k von -Pi bis Pi

 2. Die Spirale   x(k)=k*sin(k), y(k)=k*cos(k),  
                  k von 0 bis 20

 3. Die Lissajou-Figuren, die man erhält, wenn 
    an ein Oszilloskop zwei Wechselspannungen mit 
    verschiedenen Frequenzen angelegt werden :

                  x(k)=sin(3*k), y(k)=cos(5*k), 
                  k von -Pi bis Pi

Reihenentwicklung

Gezeichnet wird eine als Reihe gegebene Funktion, wobei die Reihenentwicklungen für verschiedene Parameterbereiche verglichen und zur besseren Unterscheidung in y-Richtung versetzt werden können.

Die ersten 16 Glieder der Taylorreihe für die Sinusfunktion.
f(x,k) = x^(2*k-1)/fac(2*k-1)*(-1)^(k+1) ,   k = 4, 8 und 16


Flächenfunktionen

Gezeichnet wird eine Flächenfunktion f(x,y), das heißt das dreidimensionale Schaubild einer Funktion mit zwei Variablen.

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