Lineare Algebra

Lineare Gleichungssysteme

Das Programm bestimmt den Lösungsvektor von einem System linearer Gleichungen mit n Gleichungen und n Unbekannten.

Beispiel : Sucht man eine Parabel durch die Punkte 
           P(1/3), Q(2/1) und R(4/9), so führt 
           dies auf das Gleichungssystem

             1·x(1) + 1·x(2) + 1·x(3) = 3
             4·x(1) + 2·x(2) + 1·x(3) = 1
            16·x(1) + 4·x(2) + 1·x(3) = 9   
            
            L = ( 2, -8, 9 )

Die Parabel hat also die Gleichung  y = 2x^2 - 8x + 9.

Beispiel mit zweidim. Lösungsraum. (ab Vers. 8.2)

      0·x1 + 0·x2 + 2·x3 - 1·x4  =  1
      1·x1 + 1·x2 + 1·x3 + 1·x4  =  4
      2·x1 + 2·x2 - 4·x3 + 5·x4  =  5
      1·x1 + 1·x2 - 7·x3 + 5·x4  =  0

      L = { ( 3,5-s-1,5t; s; 0,5+0,5t; t ) | s,t ∈ R }

Das Programm bestimmt die Linearkombination eines Vektors aus drei gegebenen Vektoren. Die Routine eignet sich auch dazu, die lineare Unabhängigkeit von drei Vektoren im Raum zu prüfen, das heißt, ob sie in einer Ebene liegen.

Beispiel :     | 1 |     | 2 |     | 0 |     | 2 |
             a·| 2 | + b·| 1 | + c·| 1 |  =  | 3 |   
               | 0 |     | 1 |     | 0 |     | 7 |

              Ergibt :  a = -12 ,  b = 7 ,  c = 20

Skalarprodukt

Das Programm berechnet zu zwei Vektoren deren Skalarprodukt, die Länge der beiden Vektoren und den eingeschlossenen Winkel.

Beispiel:    ->  |  1  |     ->  |  5  |
             a = |  3  |     b = |  0  |
                 |  1  |         |  3  |

             Skalarprodukt der Vektoren = 8
             Länge des ersten  Vektors  = 3.32
             Länge des zweiten Vektors  = 5.83
             eingeschlossener Winkel  Alpha = 65.56°

Vektorprodukt

Das Programm berechnet zu zwei Vektoren das Vektorprodukt, sowie seinen Betrag. Das Vektorprodukt steht auf dem von ihnen aufgespannten Parallelogramm senkrecht, und sein Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms.

Beispiel:    ->  |  1  |     ->  |  7  |
             a = |  2  |     b = |  1  |
                 |  3  |         |  4  |

         ->  ->  |  5  |       ->  ->
         a x b = | 17  |     | a x b | = 21.98
                 |-13  |

Spatprodukt

Das Programm berechnet zu drei Vektoren das Spatprodukt. Sein Betrag gibt das Volumen des verschobenen Quaders (Spat) an, der von den drei Vektoren aufgespannt wird.

Beispiel:    ->  |  2  |     ->  |  2  |     ->  |  3  |
             a = |  3  |     b = | -1  |     c = |  9  |
                 |  5  |         |  7  |         |  2  |

                  ->  ->    ->
                 ( a x b ) · c  =  26

Matrizeninversion

Das Programm berechnet zu einer quadratischen Matrix der Ordnung n die Determinante, den Rang und die inverse Matrix.

Beispiel:  Ordnung der Matrizen = 3

           |  0   1   1  |               | 0.25  -0.25  0.5 |
           |  0   1   3  | ist invers zu |  1.5  -0.5    0  |
           |  2   0   1  |               | -0.5   0.5    0  |

Pseudoinverse Matrix

Sind die Spalten einer Matrix A linear unabhängig, so ist A^T· A invertierbar und man erhält mit folgender Formel die Pseudoinverse:

A⁺ = ( A^T· A )^-1· A^T

Dabei ist A⁺ eine Linksinverse von A , das heißt es gilt: A⁺ · A = E .

Beispiel: Matrix A
          ========
            1  5
            1  7
            1  7
		
          A^T· A
          =====
             3   19
            19  123
		
          ( A^T· A )^-1
          ==========
            15,375 -2,375
            -2,375  0,375

          Linksinverse:  ( A^T·A )^-1· A^T   
          ============================
            3,5 -1,25 -1,25
           -0,5  0,25  0,25

Matrizenmultiplikation

Das Programm berechnet zu zwei Matrizen die Produktmatrix.

Beispiel:  Ordnung der Matrizen = 4

           1. Matrix :                  2. Matrix :
           |   1   2   3  :  0   |      |   1   2   3   4   |
           |   4   5   6  :  0   |      |   5   6   7   8   |
           |  . . . . . . . . .  |      |   9  10  11  12   |
           |   0   0   0  :  0   |      |  . . . . . . . .  |
           |   0   0   0  :  0   |      |   0   0   0   0   |

            Produktmatrix :
            |  38  44  50  56   |
            |  83  98  113 128  |
            |  . . . . . . . .  |
            |   0   0   0   0   |
            |   0   0   0   0   |

Lineare Algebra

A+ = ( AT· A )-1· AT

A⁺ = ( A^T· A )^-1· A^T