Stochastik

Statistik

Zu einer Urliste werden der Mittelwert (arithmetisches Mittel), der Zentralwert (Median), die Varianz und die Standardabweichung bestimmt. Zusätzlich wird die Verteilung als Histogramm ausgegegeben. 

Daten:
2,75 3,75 4,5 4 3,75 2,5 2,5 1,5 3,5 2 5 5,5 3,75 3,5 1 4 4 2,5 1,75 1 2,25
4,5 3 3 3 2 3,5 4 4

Datenanz.    n = 29          +------------------+---------+---------------+
                             |         x        |    H    |       h       | 
Maximum    max = 5,5         +------------------+---------+---------------+
                             |    1 <= x < 1,5  |    2    |   0,0689655   |
Minimum    min = 1           |  1,5 <= x < 2    |    2    |   0,0689655   |
                             |    2 <= x < 2,5  |    3    |   0,103448    |
Mittelwert   m = 3,1724138   |  2,5 <= x < 3    |    4    |   0,137931    |
                             |    3 <= x < 3,5  |    3    |   0,103448    | 
Zentralwert  c = 3,5         |  3,5 <= x < 4    |    6    |   0,206897    |
                             |    4 <= x < 4,5  |    5    |   0,172414    |
Varianz      v = 1,3040333   |  4,5 <= x < 5    |    2    |   0,0689655   |
                             |    5 <= x < 5,5  |    1    |   0,0344828   |
Standardabw. s = 1,1419428   +------------------+---------+---------------+
Histgogramm

Regression

Mit dieser Routine können Sie zu einer Messreihe eine Kurvenanpassung durchführen. Sie können zwischen folgenden Anpassungen wählen und bei Bedarf alle Punkte in x- oder y-Richtung verschieben bzw. strecken.

Ursprungsgerade   ( y = a·x )

Lineare Regression   ( y = a·x + b )

Polynomregression n-ter Ordnung   ( y = a0 + ... + an·xn )

Geometrische Regression   ( y = a·xb )

Exponentielle Regression   ( y = a·bx )

Logarithmische Regression   ( y = a + b·ln(x) )

Zusammen mit dem Schaubild werden der Funktionsterm der Näherungskurve, das Bestimmtheitsmaß, der Korrelationskoeffizient und die Standardabweichung ausgegeben. 

Polynom-Regression 2. Ordnung durch
die Punkte A(1/1), B(2/3), C(5/6), D(7/3)

 y =  - 2,6299435
      + 3,8516949 x
      - 0,43361582 x^2

 Bestimmtheitsmaß   = 0,98338318
 Korrelationskoeff. = 0,99165679
 Standardabweichung = 0,46028731

Kombinatorik

Berechnet werden die Anzahlen der Möglichkeiten, aus n Elementen k auszuwählen, wenn auf die Reihenfolge Wert gelegt wird oder nicht und wenn Wiederholungen zugelassen sind oder nicht. 

n = 49,  k = 6

Geordnet ,  ohne Wh.:   n! / (n-k)! =   10 068 347 520
Geordnet ,  mit  Wh.:           n^k =   13 841 287 201
Ungeordnet, ohne Wh.:      n über k =       13 983 816  ( Lotto )
Ungeordnet, mit  Wh.:  n+k-1 über k =       25 827 165

Permutationen von k :            k! =              720

Binomialverteilung

Berechnet werden für eine b(k;n;p) verteilte Zufallsgröße X bei festem n und festem p

- ein Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeiten P( X = k )
- ihre numerischen Werte in einem Intervall [k-min;k-max]
- die Wahrscheinlichkeit P( k-min <= X <= k-max) 

Beispiel:   n = 50    p = .3         P( X =    8 ) =  .010989
                                     P( X =    9 ) =  .021978
 8  ##                               P( X =   10 ) =  .038619
10  ######                           P( X =   11 ) =  .060185
12  ##############                   P( X =   12 ) =  .083830
14  ###################              P( X =   13 ) =  .105017
16  ###################              P( X =   14 ) =  .118948
18  #############                    P( X =   15 ) =  .122347
20  ######                           P( X =   16 ) =  .114700
22  ##                               P( X =   17 ) =  .098314
24  #                                P( X =   18 ) =  .077247
                                     P( X =   19 ) =  .055757
                                     P( X =   20 ) =  .037039
                                     P( X =   21 ) =  .022677
                                     P( X =   22 ) =  .012811
                                     P( X =   23 ) =  .006684
                                     P( X =   24 ) =  .003223

                               P(  8 <= X <=  24 ) =  .990366

Hypergeometrische Verteilung

Berechnet werden für eine h(k;n;m;r) verteilte Zufallsgröße X bei bei festem n, m und festem r ein Stabdiagramm und eine Wertetabelle für die Wahrscheinlichkeiten P( X = k ).

Normalverteilung

Berechnet werden für eine N(µ,s²) verteilte Zufallsgröße X mit gegebenem Erwartungswert µ und Varianz s² die Dichtefunktion f(x) und die Verteilungsfunktion Phi(x), das heißt das Integral über f(t) .

  My = 5              Sigma = .75

      x          f(x)        Phi(x))   
  ----------  ----------   ----------
  2           0,00017844   0,00003167
  2,33333333  0,00095649   0,00018859
  2,66666666  0,00420802   0,00093192
  2,99999999  0,01519465   0,00383038
  3,33333332  0,04503153   0,01313415
  3,66666665  0,10953585   0,03772017
  3,99999998  0,21868009   0,09121120
  4,33333331  0,35832381   0,18703139
  4,66666664  0,48189843   0,32836063
  4,99999997  0,53192304   0,49999998
  5,3333333   0,48189845   0,67163934
  5,66666663  0,35832383   0,81296859
  5,99999996  0,21868012   0,90878878
  6,33333329  0,10953586   0,96227982
  6,66666662  0,04503154   0,98686585
  6,99999995  0,01519465   0,99616962
  7,33333328  0,00420802   0,99906808
  7,66666661  0,00095649   0,99981141
  7,99999994  0,00017844   0,99996833
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