Kurvendiskussion: Hinweise zum Verfahren

Die Programme Polynomfunktionen  und Rationale Funktionen  erledigen in etwa die gleichen Aufgaben wie das Programm Kurvendiskussion , unterscheiden sich aber grundlegend im Verfahren.

Die Bestimmung der Nullstellen, Extrema und Wendepunkte erfolgt bekanntlich durch die Berechnung der Nullstellen von  ƒ(x) ,  ƒ'(x) ,  ƒ(x)"  und  ƒ'"(x) .

Im Programm Kurvendiskussion  werden diese näherungsweise bestimmt, indem die Funktion, bzw. die Ableitungen, in einem Intervall schrittweise auf Vorzeichenwechsel abgesucht werden. Dieses numerische Verfahren kann auf jede beliebige Funktion angewendet werden, bietet aber keine praktikable Methode zur Suche von Definitionslücken.

Die Programme Polynomfunktionen  und Rationale Funktionen  beschränken sich auf Polynome mit rationalen Koeffizienten. Dadurch wird es möglich die rationalen Nullstellen der Funktion, bzw. der Ableitungen exakt zu berechnen und bei gebrochenrationalen Funktionen über die Nullstellen des Nennerpolynoms die Definitionslücken zu bestimmen.

Wie die folgenden Beispiele zeigen, haben beide Verfahren Vorteile und Nachteile.

Beispiel 1:

                 x2 + 4·x + 3                (x + 1)·(x + 3)
ƒ(x) = ———————— = —————————
               x4 + x3 - 6·x2             x2·(x - 2)·(x + 3)
			   
x1 = -3  Behebbare Lücke L(-3 | 0,0444444 )
x2 = 0  Pol ohne Vorzeichenwechsel
x3 = 2  Pol mit Vorzeichenwechsel

Die Definitionslücken werden im Programm Rationale Funktionen  korrekt bestimmt.
Im Programm Kurvendiskussion  dagegen werden x₁ und x₃ nicht erkannt und stattdessen fälschlicherweise als Wendepunkte angezeigt. Ursache dafür ist der Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.

Beispiel 2:

  ƒ(x) = 3*x^7 + 3*x^6 + 17*x^5 - 5*x^4 + 34*x^3
         - 10*x^2 - 16*x + 8
 
  N1(-0,68­3 | 0 )

  H1(-0,295987 | 10,9025 )
  T1( 0,471495 | 1,9943 )

  W1( 0,0992583 | 6,34628 )

Das Polynom hat keine rationalen Nullstellen und der Grad des Polynoms ist zu hoch um die Formeln von Cardano und Ferrari (siehe Gleichungen 4. Grades) anwenden zu können.
Im Programm Polynomfunktionen  werden daher keine Nullstellen, Extrema und Wendepunkte gefunden.
Hier hilft das numerische Verfahren im Programm Kurvendiskussion weiter.

Ob die Ergebnisse der Programme Polynomfunktionen  und Rationale Funktionen  mit der Kurvendiskussion überprüft werden müssen, erkennt man an der Linearfaktorzerlegung von ƒ(x). Ist diese nicht vollständig und der Grad des Restpolynoms größer als 4, können noch weitere irrationalen Nullstellen, Extrema und Wendepunkte existieren.
In den Programmen Polynomfunktionen  und Rationale Funktionen  wird dazu der Funktionsterm ƒ(x) automatisch in die Zwischenablage kopiert und kann in der Kurvendiskussion  mit Strg V oder der Option Einfügen  des lokalen Menüs eingefügt werden.