Pseudoinverse Matrix

Sind die Spalten einer Matrix  A  linear unabhängig, so ist  A^T· A  invertierbar und man erhält mit folgender Formel die Pseudoinverse:

A⁺ = ( A^T· A )^-1· A^T

Dabei ist  A⁺  eine Linksinverse von  A , das heißt es gilt:  A⁺ · A = E .

Sind dagegen die Zeilen der Matrix linear unabhängig, so erhält man die Pseudoinverse mit der Formel:

A⁺ = A^T· ( A · A^T )^-1

Sie ist eine Rechtsinverse von  A , das heißt:  A · A⁺ = E .

Sind sowohl die Spalten als auch die Zeilen der Matrix linear unabhängig, so ist die Matrix invertierbar und die Pseudoinverse ist gleich der Inversen der Matrix.

Matrix A
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  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

AT· A
¯¯¯¯¯
  ⎧ 26  36  36  46 ⎫
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎩ 46  64  64  82 ⎭

AT· A nicht invertierbar

A · AT
¯¯¯¯¯¯
  ⎧  4   28 ⎫
  ⎩ 28  204 ⎭

( A · AT )-1
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  ⎧ 6,375 -0,875 ⎫
  ⎩-0,875  0,125 ⎭

Rechtsinverse:  AT·( A·AT )-1
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  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

1. Matrix  ( A )
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  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

2. Matrix  ( A+ )
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Produktmatrix ( A·A+)
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  ⎧ 1  0 ⎫
  ⎩ 0  1 ⎭

Popup-Menü:

Mit der rechten Maustaste öffnen sie ein Kontextmenü, das Ihnen die folgenden Funktionen zum Bearbeiten der Matrizen anbietet.

• Matrix ausschneiden, Matrix kopieren und Matrix einfügen

  Damit kann die Matrix über die Zwischenablage etwa in die Matrizenmultiplikation kopiert werden.

• Matrix transponieren

  Vertauscht die Zeilen und Spalten der Matrix.

• Matrix exportieren bzw. Matrix importieren

  Exportiert bzw. importiert wird im CSV-Format (Comma separated values), mit dem Daten mit einer Excel-Datei ausgetauscht werden können.

Siehe auch: