MatheAss 10.0 − Geometrie 3D
Sisteme de coordonate
Cu acest program, coordonatele carteziene tridimensionale pot fi convertite în coordonate sferice sau coordonate cilindrice şi invers.
cartezian polar cilindric x = 1 r = 1.7320508 ρ = 1.4142136 y = 1 φ = 45° φ = 45° z = 1 Θ = 35,26439° z = 1
Poliedre platonice
Programul calculează cele cinci poliedre platonice — tetraedru, hexaedru, octaedru, dodecaedru și icosaedru — atunci când sunt date lungimea muchiei, înălțimea feței, înălțimea spațială, raza interioară, raza exterioară, volumul sau aria suprafeței.
Tetraedru
Dat:
¯¯¯¯¯
Raza circumscrisă rc = 1
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Muchia a = 1,6329932
Apotema h1 = 1,4142136
Înălțimea h2 = 1,3333333
Raza înscrisă ri = 0,33333333
Volumul V = 0,51320024
Suprafața S = 4,6188022
Hexaedru
Dat:
¯¯¯¯¯
Raza înscrisă ri = 1
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Muchia a = 2
Diagonala feței d1 = 2,8284271
Diagonala corpului d2 = 3,4641016
Raza circumscrisă rc = 1,7320508
Volumul V = 8
Suprafața S = 24
Octaedru
Dat:
¯¯¯¯¯
Raza înscrisă ri = 1/sqrt(3)
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Muchia a = 1,4142136
Apotema h1 = 1,2247449
Înălțimea h2 = 2
Raza circumscrisă rc = 1
Volumul V = 1,3333333
Suprafața S = 6,9282032
Dodecaedru
Dat:
¯¯¯¯¯
Diagonala feței d = 2
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Muchia a = 1,236068
Înălțimea feței h = 1,902113
Raza circumscrisă rc = 1,7320508
Raza înscrisă ri = 1,3763819
Volumul V = 14,472136
Suprafața S = 31,543867
Icosaedru
Dat:
¯¯¯¯¯
Înălțimea h2 = 2
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Muchia a = 1,0514622
Apotema h1 = 0,910593
Raza circumscrisă rc = 1
Raza înscrisă ri = 0,79465447
Volumul V = 2,5361507
Suprafața S = 9,5745414
Alte corpuri
Programul calculează toate mărimile unui prismă regulată, ale unui cilindru circular drept, ale unei piramide pătrate, ale unui con circular drept sau ale unei sfere, atunci când două dintre ele sunt date.
Prisma
Dat:
¯¯¯¯¯
Vârfuri n = 6
Raza circumscrisă rc = 1
Volumul V = 1
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Muchia a = 1
Înălțimea h = 0,38490018
Raza înscrisă ri = 0,8660254
Baza B = 2,5980762
Suprafața S = 7,5055535
Cilindrul circular
Dat:
¯¯¯¯¯
Raza r = 1
Volumul V = 1
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Înălțimea h = 0,31830989
Perimetrul p = 6,2831853
Baza B = 3,1415927
Suprafața laterală L = 2
Suprafața S = 8,2831853
Piramida pătrată
Dat:
¯¯¯¯¯
Muchia a = 1
Volumul V = 1
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Muchia laterală s = 3,082207
Înălțimea h1 = 3
Apotema h2 = 3,0413813
Suprafața S = 7,0827625
Fața A = 1,5206906
Conul circular
Dat:
¯¯¯¯¯
Înălțimea h = 1
Suprafața S = 6
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Raza r = 0,86994247
Apotema s = 1,3254433
Volumul V = 0,79251901
Suprafața laterală L = 3,622443
Baza B = 2,377557
Sfera
Dat:
¯¯¯¯¯
Suprafața S = 1
Rezultate:
¯¯¯¯¯¯
Raza r = 0,28209479
Diametrul d = 0,56418958
Perimetrul p = 1,7724539
Volumul V = 0,094031597
Cerc paralel α = 48°
Raza r' = 0,18875826
Perimetrul u' = 1,1860031
Dreaptă prin 2 puncte
Dreaptă prin A(1|1|1), B(2|5|6)
Reprezentare parametrică
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪
⎩ 1 ⎭ ⎩ 5 ⎭
Distanþa faþă de origine
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 0,78679579
Poziþia faþă de planul xy
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Proiecþie : 4·x - y = 3
Punct inters.: S1(0,8|0,2|0)
Unghi inters.: 50,490288°
Poziþia faþă de planul yz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Proiecþie : 5·y - 4·z = 1
Punct inters.: S2(0|-3|-4)
Unghi inters.: 8,8763951°
Poziþia faþă de planul xz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Proiecþie : 5·x - z = 4
Punct inters.: S3(0,75|0|-0,25)
Unghi inters.: 38,112927°
Plan prin 3 puncte
Plan prin punctele:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)
Formă punct-pantă:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 0 ⎫
x = ⎪ 2 ⎪+r·⎪ 1 ⎪+s·⎪ 1 ⎪
⎩ 3 ⎭ ⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Ecuaþia în coordonate:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x - y + z = 2
Distanþa faþă de origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,1547005
Puncte de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Sx(2|0|0)
Sy(0|-2|0)
Sz(0|0|2)
Sferă prin 4 puncte
Sferă prin punctele:
A(1|0|0), B(0|2|0),
C(0|0|3), D(1|0|1)
Formă normală:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
⎧ -> ⎧-2,5 ⎫ ⎫2
K: ⎪ x - ⎪-0,5 ⎪ ⎪= 12,75
⎩ ⎩ 0,5 ⎭ ⎭
Centru şi rază:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
M(-2,5|-0,5|0,5)
r = 3,5707142
Intersecþii în spaþiu
Programul calculează secþiunile dintre drepte, plane şi sfere.
Două drepte
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
-> ⎧ 0 ⎫ ⎧ 1 ⎫
h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Punct de intersec.: S(5|5|5)
Unghi de intersec.: 60°
Distanþe faþă de origine :
d(O,g)=5 d(O,h)=5
Plan şi dreaptă
Plan E :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
E : x + y + z = 5
Dreaptă g :
¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Punct de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
S(5|0|0)
Unghi de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
alpha = 54,73561°
Sferă şi dreaptă
Sferă :
¯¯¯¯¯¯¯¯
K : M(5|5|5) , r = 5
Dreaptă :
¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Puncte de intersec. :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
S1(2,81867|1,81867|1,81867)
S2(8,51467|7,51467|7,51467)
Lungimea coardei :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
s = 9,8657657
Două plane
Sunt date cele două plane:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
E1 : 5·x - 2·y = 5
E2 : 2·x - y + 5·z = 8
Dreapta de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧-11 ⎫ ⎧ 10 ⎫
g : x = ⎪-30 ⎪ + r·⎪ 25 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Distanþa faþă de origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,5057283
Unghi de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
alpha = 65,993637°
Două sfere
Sunt date cele două sfere: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ K1 : M1(3|3|3) , r1 = 3 K2 : M2(1|1|1) , r2 = 3 Cercul de intersec.: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ M(2|2|2), r = 2,4494897 Planul de intersec. : ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ E : x + y + z = 6
Sferă şi plan
Plan :
¯¯¯¯¯¯
E : 5·x - 4·y + 5·z = -3
Sferă :
¯¯¯¯¯¯¯¯
⎧ -> ⎧ 1 ⎫⎫2
K : ⎪ x - ⎪ 2 ⎪⎪ = 16
⎩ ⎩ 3 ⎭⎭
Cercul de intersec. :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
M(1|1|1), r = 2
Distanþe pe sferă
Distanþa dintre două puncte pe o sferă este calculată. Programul este de asemenea potrivit pentru conversia gradelor zecimale în grade, minute şi secunde (dms) şi invers.
GPS zecimal ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52.523403, 13.4114 New York : 40.714268, -74.005974 GPS dms ¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E New York : 40° 42' 51.3648" N, 74° 0' 21.5064" W . . . Distanþă ¯¯¯¯¯¯¯¯ d = r · α [rad] = 6385,112
