MatheAss 9.0Lineare Algebra

Lineare Optimierung

Die Aufgabe der Optimierung besteht darin, für ein vorgegebenes Ziel den optimalen Wert zu bestimmen, wobei vorgegebene Bedingungen zu beachten sind.
Das Programm bestimmt die optimale Lösung für eine Zielfunktion mit zwei Variablen mit linearen Ungleichungen als Randbedingungen.

Beispiel 1 (Maximierung)

Eine Fabrik produziert zwei verschiedene Mobiltelefone. Täglich sollen x Geräte vom Typ A und y Geräte vom Typ B fertiggestellt werden.

Randbedingungen:
Die einzelnen Abteilungen haben folgende Fertigungskapzitäten pro Tag:
  1. Das Montageband für Typ A kann höchstens 600 Geräte fertigen.
    x ≤ 600
  2. Das Montageband für Typ B kann höchstens 700 Geräte fertigen.
    y ≤ 700
  3. Die Kunststoffabteilung fertigt insgesamt höchtens 750 Gehäuse.
  4. x + y ≤ 750
  5. Die Elektroabteilung fertigt höchstens 400 Geräte vom Typ A oder 1200 Geräte vom Typ B oder eine entsprechende Kombination. Das heißt pro Gerät vom Typ A wird 1/400, pro Gerät vom Typ B 1/1200 der Gesamtzeit benötigt.
    1/400·x + 1/1200·y ≤ 1   oder   3·x + 1·y ≤ 1200;
Zielfunktion:
Wieviele Geräte müssen jeweils täglich hergestellt werden, um einen maximalen Gewinn zu erzielen, wenn der Gewinn beim Typ A 140€ pro Gerät, beim Typ B 80€ beträgt.
Zielfunktion:   
  ƒ(x,y) = 140·x + 80·y → Maximum

Randbedingungen:
  x ≥ 0
  y ≥ 0
  x ≤ 600
  y ≤ 700
  x + y ≤ 750
  3·x + y ≤ 1200

Maximum
  x = 225   y = 525
  ƒ(x,y) = 73500

Der maximale Gewinn von 73500€ wird also erzielt, wenn täglich 225 Geräte vom Typ A und 525 Geräte vom Typ B gefertigt werden.

Beispiel 2 (Minimierung)

Zielfunktion:   
  ƒ(x,y) = 140·x + 80·y → Minimum 

Randbedingungen:
  x ≥ 0
  y ≥ 0
  x ≥ 160
  y ≥ 80
  x + y ≥ 750
  3·x + y ≥ 1200

Minimum
  x = 225   y = 525
  ƒ(x,y) = 73500

Siehe auch:

Wikipedia: Lineare Optimierung
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