MatheAss 9.0Géométrie 2D

Tangentes aux cercles - Calculation

Pôle et polaire

Le cercle k autour du point central M de rayon r est décrit par l'équation
(x - xM )2 + (y - yM )2 = r2 .

Si vous insérez les coordonnées du point P dans un facteur pour x et y dans les deux carrés de gauche, vous obtenez l'équation suivante, qui décrit une ligne droite.
(xP - xM ) * (x - xM ) + (yP - yM ) * (y - yM ) = r2 .
Il est appelé polaire au pôle P et est une aide puissante pour déterminer les équations tangentes.

Les tangentes à un cercle k passant par un point P.

Si un cercle k et un point P sont donnés sur le cercle, alors la polaire de P est la tangente désirée

Étant donné un cercle k et un point P en dehors de k, la polaire de P coupe le cercle aux deux points de contact des tangentes passant par P. L'équation de la polaire est donc résolue pour y (ou pour x si le coefficient de y est zéro) et insérez-le dans l'équation circulaire. Avec les points de contact B1 et B2 calculés de cette manière, les équations des tangentes t1 = (PB1 ) et t2 = (PB2 ) sont établies.

Si le point P se trouve à l'intérieur du cercle, la polaire est une ligne droite à l'extérieur du cercle. Les points sur tout cela ont la propriété que leurs polaires se croisent en P.

Les tangentes à un cercle k parallèle à une droite g

Si un cercle k et une droite g: a x + b y = c sont donnés, alors la ligne perpendiculaire sur g passant par le centre M du cercle le coupe aux points de contact B1 et B2 . Pour les coefficients de la droite perpendiculaire applique a'=−b et b'=a.
La somme constante c 'est obtenue en insérant les coefficients de M.

Les tangentes à deux cercles k1 et k2

Si r1 et r2 sont les rayons des cercles k1 et k2, on suppose que r1 > r2. Si ce n'est pas, les cercles sont échangés .

Le nombre de tangentes communes que deux cercles ont en commun dépend de la position mutuelle des cercles:

 |M1M2| < r1 − r2

 |M1M2| = r1 − r2

 r1 − r2 < |M1M2| < r1 + r2

 |M1M2| = r1 + r2

 |M1M2| > r1 + r2

 Cas particulier r1 = r2

a) |M1M2| = r1 − r2
Le moyen le plus simple de calculer le point de contact commun B est d'ajouter le r2/|M1M2|-fold du vecteur de M1 à M2 au vecteur de position de M2. La tangente est la perpendiculaire à (M1M2) en B.

b) |M1M2| > r1 − r2
Pour déterminer les tangentes extérieures en deux cercles, on détermine d'abord les tangentes par M2 à un cercle k3 autour de M1 avec un rayon r3=r1−r2 (de la même manière que "Tangente à k par P"). Si P1 et P2 sont les points de contact à k3, on le déplace de r1/r3 fois le vecteur de M1 vers P1 ou P2 (cf. a)).

Un cas particulier est celui de deux cercles d'un rayon égal, puisque le cercle auxiliaire k3 aurait le rayon zéro. Dans ce cas, les tangentes sont déterminées par analogie avec la tangente en k parallèle à g avec g = (M1M2).

c) |M1M2| = r1 + r2
Si les deux cercles se touchent de l'extérieur, il existe une troisième tangente commune t3. Le point de contact commun divise la ligne M1M2 dans le rapport r1:r2. La tangente t3 est orthogonale à  M1M2.

d) |M1M2| > r1 + r2
Si k2 est entièrement en dehors k1,il y a deux tangentes « intérieures » communes qui se croisent entre les cercles.
Pour déterminer les tangentes internes en deux cercles, on détermine d'abord les tangentes par M2 à un cercle k3 autour de M1 avec un rayon r3=r1+r2 (de la même manière que "Tangente à k par P"). Si P1 et P2 sont les points de contact à k3, on le déplace de r1/r3 fois le vecteur de M1 vers P1 ou P2 (cf. a)).

Voir aussi:

Wikipédia: Tangente à un cercle| Pôle et polaire
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