Tangenti dei cerchi - Calculazione

Pole e Polar

Il cerchio k attorno al centro M con raggio r è descritto dall'equazione
(x - xM)2 + (y - yM)2 = r 2 .

Se inserisci le coordinate del punto P in un fattore per x  e  y nei due quadrati a sinistra, ottieni la seguente equazione, che descrive una retta.
(xP - xM)·(x - xM) + (yP - yM)·(y - yM) = r 2 .
Si chiama polare al polo P ed è un potente aiuto per determinare le equazioni tangenti.

Le tangenti a una circonferenza k passante per un punto P.

Se sul cerchio sono indicati un cerchio k e un punto P, la polare di P è la tangente desiderata

Dato un cerchio k e un punto P esterno a k, il polare di P interseca il cerchio nei due punti di contatto delle tangenti per P. Quindi l'equazione del polare è risolta per y (o per x, se il coefficiente di y è zero) e inseriscilo nell'equazione circolare. Con i punti di contatto B1 e B2 calcolati in questo modo si impostano le equazioni delle tangenti t1 = (PB1) et2 = (PB2).

Se il punto P si trova all'interno del cerchio, la polare è una linea retta fuori dal cerchio. I punti su questo hanno tutti la proprietà che la loro polare si interseca in P.

Le tangenti a un cerchio k parallelo a una retta g

Se vengono forniti un cerchio k e una retta  g: a x + b y = c, la retta perpendicolare su g attraverso il centro M del cerchio interseca questo nei punti di contatto B1 e B2 . Per i coefficienti della retta perpendicolare si applica  a'=−b  e  b'=a. La somma  della costante  c'  si ottiene inserendo i coefficienti di M.

Le tangenti a due cerchi k1 e k2

Se  r1  e  r2  sono i raggi dei cerchi k1 e k2, allora assumiamo che  r1>r2. Se questo non è il caso, i cerchi vengono scambiati.

Quante tangenti comuni hanno in comune due cerchi dipende dalla posizione reciproca dei cerchi:

 |M1M2| < r1−r2

 |M1M2| = r1−r2

 r1−r2 < |M1M2| < r1+r2

 |M1M2| = r1+r2

 |M1M2| > r1+r2

 Sonderfall   r1 = r2

a)  |M1M2| = r1−r2
Il modo più semplice per calcolare il punto di contatto comune B è aggiungere la r2/|M1M2|-piega del vettore da M1 a M2 al vettore di posizione di M2. La tangente è la perpendicolare a (M1M2) in B.

b)  |M1M2| > r1−r2
Per determinare le tangenti esterne a due cerchi, si determinano prima le tangenti a un cerchio k3 attorno a M1 con raggio r3=r1−r2 attraverso M2 (analogo "Tangente a k attraverso P"). Se P1 e P2 sono i punti di contatto su k3, allora questo si sposta di r1/r3 volte il vettore da M1 a P1  o  P2 (cfr. a)).

Due cerchi con lo stesso raggio formano un caso speciale, poiché il cerchio ausiliario k3 avrebbe raggio zero. In questo caso le tangenti sono determinate analogamente all'esercizio "Tangente a k parallelamente a g" con g=(M1M2).

c)  |M1M2| = r1 + r2
Se i due cerchi si toccano dall'esterno, c'è una terza tangente comune t3. Il punto di contatto comune divide la distanza M1M2 nel rapporto r1:r2. La tangente t3 è ortogonale a M1M2.

d)  |M1M2| > r1 + r2
Se k2 si trova completamente al di fuori di k1, ci sono due tangenti comuni "interne" che si intersecano fra i cerchi.
Per determinare le tangenti interne a due cerchi, si determinano prima le tangenti a un cerchio k3 attorno a M1 con raggio r3=r1+r2 attraverso M2 (analogo "Tangente a k attraverso P"). Se P1 e P2 sono i punti di contatto su k3, allora questi vengono spostati di r1/r3 volte il vettore da M1 a P1  o  a P2 (cfr. a)).

Vedi anche:

Wikipedia: Tangente alla circonferenza | Pole and Polar