MatheAss 10.0 − Géométrie 3D
Systèmes de coordonnées
Conversion des coordonées cartésiennes en coordonnées polaires ou coordonnées cylindriques et vice versa.
cartésiennes polaires cylindriques x = 1 r = 1.7320508 ρ = 1.4142136 y = 1 φ = 45° φ = 45° z = 1 Θ = 35,26439° z = 1
Solides de Platon
Si une des grandeurs d'un tétraèdre, d'un hexaèdre, d'un octaèdre, d'un dodékaèdre ou d'un icosaèdre est donnée, le programme calcule toutes les autres.
Tétraèdre
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯
Sphère circonscrite rc = 1
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Arête a = 1,6329932
Apothème h1 = 1,4142136
Hauteur h2 = 1,3333333
Sphère inscrite ri = 0,33333333
Volume V = 0,51320024
Surface S = 4,6188022
Hexaèdre
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯
Sphère inscrite ri = 1
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Arête a = 2
Diagonale de face d1 = 2,8284271
Diagonale spatiale d2 = 3,4641016
Sphère circonscrite rc = 1,7320508
Volume V = 8
Surface S = 24
Octaèdre
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯
Volume V = 4/3
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Arête a = 1,4142136
Apothème h1 = 1,2247449
Hauteur h2 = 2
Sphère circonscrite rc = 1
Sphère inscrite ri = 0,57735027
Surface S = 6,9282032
Dodécaèdre
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯
Diagonale de face d = 2
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Arête a = 1,236068
Hauteur de face h = 1,902113
Sphère circonscrite rc = 1,7320508
Sphère inscrite ri = 1,3763819
Volume V = 14,472136
Surface S = 31,543867
Icosaèdre
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯
Diagonale de face d = 2
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Arête a = 1,236068
Hauteur de face h = 1,902113
Sphère circonscrite rc = 1,7320508
Sphère inscrite ri = 1,3763819
Volume V = 14,472136
Surface S = 31,543867
Autres solides
Si deux grandeurs d'un prisme régulier, d'un cylindre droit à base circulaire, d'une pyramide régulière, d'un cône droit à base circulaire ou d'une sphère sont fournies, le programme détermine les grandeurs restantes.
Le prisme
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯ n = 6
Cercle circonscrite rc = 1
Volume V = 1
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Arête a = 1
Hauteur h = 0,38490018
Cercle inscrit ri = 0,8660254
Base B = 2,5980762
Surface S = 7,5055535
Le cylindre circulaire
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯
Rayon r = 1
Volume V = 1
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Hauteur h = 0,31830989
Périmètre p = 6,2831853
Base B = 3,1415927
Face lateral L = 2
Surface S = 8,2831853
La pyramide carrée
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯
Arête a = 1
Volume V = 1
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Arête lateral s = 3,082207
Hauteur h1 = 3
Apothème h2 = 3,0413813
Surface S = 7,0827625
Face lateral L = 1,5206906
Le cône circulaire
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯
Hauteur h = 1
Surface S = 6
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Rayon r = 0,86994247
Apothème s = 1,3254433
Volume V = 0,79251901
Face latérale L = 3,622443
Base B = 2,377557
La sphère
Entrées:
¯¯¯¯¯¯¯
Surface S = 1
Resultats:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Rayon r = 0,28209479
Diamètre d = 0,56418958
Périmètre p = 1,7724539
Volume V = 0,094031597
Cercle parallèle α = 48°
Rayon r' = 0,18875826
Périmètre p' = 1,1860031
Droite définie par deux points
Droite à travers
A(1|1|1), B(2|5|6)
L'équation vectoriel
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪
⎩ 1 ⎭ ⎩ 5 ⎭
Distance de l'origine
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 0,78679579
Position au plan xy
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Projection: -4·x + y = 3
Intersec..: S1(0,8|0,2|0)
Angle : 50,490288°
Position au plan yz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Projection: -5·x + 4·y = 1
Intersec. : S2(0|-3|-4)
Angle : 8,8763951°
Position au plan xz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Projection: -5·x + y = 4
Intersec. : S3(0,75|0|-0,25)
Angle : 38,112927°
Plan défini par trois points
Plan à travers
A(1|2|3), B(2|3|3),
C(1|0|1)
L'équation vectoriel:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 0 ⎫
x = ⎪ 2 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ + s·⎪ 1 ⎪
⎩ 3 ⎭ ⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
L'équ. en coordonées:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x - y + z = 2
Distance de l'origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,1547005
Points de trace:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Sx(2|0|0)
Sy(0|-2|0)
Sz(0|0|2)
Sphère définie par quatre points
Sphère à travers: A(1|0|0), B(0|2|0), C(0|0|3), D(1|0|1) Forme normale: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ⎧ -> ⎧-2,5 ⎫ ⎫2 K:⎪ x - ⎪-0,5 ⎪ ⎪ = 12,75 ⎩ ⎩ 0,5 ⎭ ⎭ Le centre et le rayon: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ M(-2,5|-0,5|0,5) r = 3,570714
Intersections dans l'espace
Le programme détermine l'interséction entre deux droites, entre un plan et une droite, entre deux plans, entre une sphère et une droite, entre une sphère et un plan et entre deux sphères.
deux droites
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
-> ⎧ 0 ⎫ ⎧ 1 ⎫
h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Point d'inters. : S(5|5|5)
Angle : α = 60°
Distances d'origine :
d(O,g)=5 d(O,h)=5
plan et droite
Le plan E :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
E : x + y + z = 5
La droite g :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Le point d'intersection :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
S(5|0|0)
L'angle d'intersection :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
alpha = 54,73561°
sphère et droite
La sphère :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
K : M(5|5|5) , r = 5
La droite :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Points d'intersection :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
S1(2,81867|1,81867|1,81867)
S2(8,51467|7,51467|7,51467)
Longueur de la corde :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
s = 9,8657657
deux plans
Les deux plans:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
E1 : 5·x - 2·y = 5
E2 :·x - y + 5·z = 8
La droite d'intersection:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧-11 ⎫ ⎧ 10 ⎫
g : x = ⎪-30 ⎪ + r·⎪ 25 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
La distance de l'origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,5057283
L'angle entre les plans:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
alpha = 65,993637°
deux sphères
Les deux sphères: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ K1 : M1(3|3|3) , r1 = 3 K2 : M2(1|1|1) , r2 = 3 Le cercle d'intersection: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ M(2|2|2) , r = 2,4494897 Le plan d'intersection: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ E : x + y + z = 6
sphère et plan
Le plan:
¯¯¯¯¯¯¯¯
E : 5·x - 4·y + 5·z = -3
La Sphère:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
⎧ -> ⎧ 1 ⎫⎫2
K : ⎪ x - ⎪ 2 ⎪⎪ = 16
⎩ ⎩ 3 ⎭⎭
Le cercle d'intersection:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
M(-0,14|2,91|1,86)
r = 3,55
Distances sur la sphère
La distance entre deux points sur une sphère est calculée.
GPS decimal ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52.523403, 13.4114 New York : 40.714268, -74.005974 GPS dms ¯¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E New York : 40° 42' 51.3648" N, 74° 0' 21.5064" W . . . Distance ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ d = r · α [rad] = 6385,112
