MatheAss 9.0 − Algèbre linéaire

Systèmes d'équations linéaires

Le programme détermine le vecteur solution à partir d'un système d'équations linéaires à n équations et n inconnues.

Exemple : La recherche d'une parabole passant par les points P (1|3), Q (2|1) et R (4|9) conduit au système d'équations

  1·x1 + 1·x2 + 1·x3 = 3
  4·x1 + 2·x2 + 1·x3 = 1
 16·x1 + 4·x2 + 1·x3 = 9   
            
 L = (2; -8; 9)

Donc la parabole a l'équation  y = 2x 2 - 8x + 9.

Exemple avec un espace de solution de dimension 2 :

  0·x1 + 0·x2 + 2·x3 - 1·x4  =  1
  1·x1 + 1·x2 + 1·x3 + 1·x4  =  4
  2·x1 + 2·x2 - 4·x3 + 5·x4  =  5
  1·x1 + 1·x2 - 7·x3 + 5·x4  =  0

  L = { ( 3,5-s-1,5t; s; 0,5+0,5t; t ) | s,t ∈ R }

Optimisation linéaire   (depuis février 2022)

Le programme détermine la solution optimale pour une fonction objectif à deux variables avec des contraintes.

Fonction objetif:
  ƒ(x,y) = 140·x + 80·y → Maximum

Contraintes:
  x ≥ 0
  y ≥ 0
  x ≤ 600
  y ≤ 700
  x + y ≤ 750
  3·x + y ≤ 1200

Maximum:
  x = 225   y = 525
  ƒ(x,y) = 73500

Combinaisons linéaires

Le programme détermine la combinaison linéaire d'un vecteur à partir de trois vecteurs indépendants donné.


    ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫   ⎧ 2 ⎫
  a·⎪ 0 ⎪ + b·⎪ 1 ⎪ + c·⎪ 1 ⎪ = ⎪ 3 ⎪
    ⎩ 0 ⎭     ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭   ⎩ 4 ⎭

 Solution:
     a = -1  b = -1  c = 4

Produit scalaire

Le produit scalaire des deux vecteurs, leurs longueurs et l'angle compris sont calculés.


   ->  ⎧ 1 ⎫     ->  ⎧ 5 ⎫
   a = ⎪ 3 ⎪     b = ⎪ 0 ⎪
       ⎩ 1 ⎭         ⎩ 3 ⎭
           
Produit scalaire        = 8

Longueure du 1e vecteur = √11 = 3.32

Longueure du 2e vecteur = √34 = 5.83

Angle compris         α = 65.56°   

Produit vectorielle

Le produit vectoriel de deux vecteurs et leur magnitude sont calculés.
Le produit vectoriel est perpendiculaire au parallélogramme enjambé et sa quantité est égale à l'aire du parallélogramme.


     ->  ⎧ 1 ⎫     ->  ⎧ 7 ⎫
     a = ⎪ 2 ⎪     b = ⎪ 1 ⎪
         ⎩ 3 ⎭         ⎩ 4 ⎭

 ->  ->  ⎧  5 ⎫    ->  ->  
 a x b = ⎪ 17 ⎪   |a x b|= √483 = 21,977261
         ⎩-13 ⎭

Produit triple

Le produit triple des trois vecteurs est calculé.
Sa quantité indique le volume du cuboïde déplacé (spatule) qui est couvert par les trois vecteurs.


->  ⎧ 2 ⎫     ->  ⎧ 2 ⎫    ->  ⎧ 3 ⎫
a = ⎪ 3 ⎪     b = ⎪-1 ⎪    c = ⎪ 9 ⎪
    ⎩ 5 ⎭         ⎩ 7 ⎭        ⎩ 2 ⎭

  ->  ->    ->  
( a x b ) · c = 26

Inversion des matrices

La matrice inverse d'une matrice carrée, le rang et le déterminant sont calculés.

Matrice :
¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  0  2 ⎫
  ⎪ 0  1  0 ⎪
  ⎩ 3  0  1 ⎭

Matrice inverse :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧-0,2  0  0,4 ⎫
  ⎪   0  1    0 ⎪
  ⎩ 0,6  0 -0,2 ⎭

Ordre = 3,  Rang = 3,  Déterminant = -5

Matrice pseudo inverse

Si les colonnes d'une matrice  A  sont linéairement indépendants, alors  AT · A  est inversible et nous obtenons la pseudo inverse par la formule suivante:

A+ = (AT · A)-1 · AT

A+  est une inverse à gauche de  A , ce qui signifie que:  A+ · A = E .

Matrix A
¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  1  1  1 ⎫
  ⎩ 5  7  7  9 ⎭

AT· A
¯¯¯¯¯
  ⎧ 26  36  36  46 ⎫
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎪ 36  50  50  64 ⎪
  ⎩ 46  64  64  82 ⎭

AT· A is not invertible

A · AT
¯¯¯¯¯¯
  ⎧  4   28 ⎫
  ⎩ 28  204 ⎭

( A · AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 6,375 -0,875 ⎫
  ⎩-0,875  0,125 ⎭

Right Inverse:  AT·( A·AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧    2 -0,25 ⎫
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎪ 0,25     0 ⎪
  ⎩ -1,5  0,25 ⎭

Produit des matrices

Le programme calcule le produit des deux matrices.

1e Matrice :     
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  0  2 ⎫
  ⎩ 0  1  0 ⎭

2e Matrice :     
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧-0,2  0  0,4  1 ⎫
  ⎪   0  1    0  1 ⎪
  ⎩ 0,6  0 -0,2  1 ⎭

Produit des Matrices:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧ 1  0  0  3 ⎫
  ⎩ 0  1  0  1 ⎭