MatheAss 10.0 − Geometría 3D

Sistemas de coordenadas

Con este programa, las coordenadas cartesianas tridimensionales se pueden convertir en coordenadas polares o coordenadas cilíndricas y viceversa.

  cartesiano         polares                      cilíndrico
   x  =  1              r  =  1.7320508           ρ  =  1.4142136
   y  =  1             φ  =  45°                      φ  =  45°  
   z  =  1             Θ =  35,26439°            z  =  1

El programa calcula los cinco sólidos platónicos tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro si se dan la longitud del borde, la altura del Área, la altura de la habitación, el radio de la esfera interior, el radio de la esfera exterior, el volumen o la superficie.

Ejemplo: Dodecaedro

Dado:
¯¯¯¯¯
  Diagonal de la cara d = 2

Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯  
                   Borde a = 1,236068
  Altura de la cara  h = 1,902113
  Esfera circunscr. rc = 1,7320508
      Esfera inscrita  ri = 1,3763819
                Volumen V = 14,472136
              Superficie S = 31,543867

Otros sólidos

El programa calcula todas las cantidades de un prisma regular, un cilindro circular vertical, una pirÁmide regular, un cono circular recto o una esfera dados dos de ellos.

Ejemplo: Cono circular recto

Dado:
¯¯¯¯¯
           Volumen V = 1
                Base B = 1

Resultados:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
                 Radio r = 0,56418958
                Altura h = 1
          Perímetro p = 3,5449077
Superficie lateral L = 3,5449077
          Superficie S = 5,5449077

Recta a través de 2 puntos

Recta a través de 
  A(1|1|1), B(2|5|6)

Representación paramétrica
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫
  x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪
      ⎩ 1 ⎭     ⎩ 5 ⎭

Distancia desde el origen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 d = 0,78679579

Posición con respecto al plano xy
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 4·x - y = 3
Schnittpkt: S1(0,8|0,2|0)
Schnittwkl: 50,490288°

Posición con respecto al plano yz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - 4·y = 1
Schnittpkt: S2(0|-3|-4)
Schnittwkl: 8,8763951°

Posición con respecto al plano xz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - y = 4
Schnittpkt: S3(0,75|0|-0,25)
Schnittwkl: 38,112927°

Plano través de 3 puntos

Plano través de los puntos:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)

Forma punto-pendiente:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫     ⎧ 0 ⎫
x = ⎪ 2 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ + s·⎪ 1 ⎪
    ⎩ 3 ⎭     ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Ecuación en coordenadas:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  x - y + z = 2

Distancia desde el origen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  d = 1,1547005


Puntos de seguimiento:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  Sx(2|0|0)
  Sy(0|-2|0)
  Sz(0|0|2)

Esfera a través de 4 puntos

Esfera a través de:
A(1|0|0), B(0|2|0),
C(0|0|3), D(1|0|1)

Forma normal:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    | ->  ⎧-2,5 ⎫ |2 
 K: | x - ⎪-0,5 ⎪ |  = 12,75
    |     ⎩ 0,5 ⎭ |

Centro y radio:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  M(-2,5|-0,5|0,5)
  r = 3,5707142

Intersecciones en el espacio

Las intersecciones entre dos líneas, una línea y el plano, dos planos, una línea y una esfera, un plano y una esfera y entre las dos esferas se calculan.

Dos rectas

    ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

    ->  ⎧ 0 ⎫     ⎧ 1 ⎫
h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪  
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Punto de intersección: 
  S(5|5|5)

Ángulo de intersección: 
  α = 60°


Distancias de origen :  
  d(O,g)=5  d(O,h)=5

Plano y recta

      ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫  
  g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
          ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭


E : x + y + z = 5


Punto de intersección:  
  S(5|0|0)

Ángulo de intersección:  
  α = 54,73561°

Esfera y recta

     ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫  
 g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
         ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭


K : M(5|5|5) ,  r = 5


Puntos de intersección :
 S1(2,8187|1,8187|1,8187)
 S2(8,5147|7,5147|7,5147)

Longitud de la cuerda:
 s = 9,8657657

Dos planos

Dado los planos:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
E1 : 5·x - 2·y = 5
E2 : 2·x - y + 5·z = 8

Recta de intersección:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    ->  |-11 |     | 10 |
g : x = |-30 | + r·| 25 |
        |  0 |     |  1 |

Distancia desde el origen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 d = 1,5057283

Ángulo de intersección:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 α = 65,993637°

Dos esferas

Dado las esferas:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
K1 : M1(3|3|3) ,  r1 = 3
K2 : M2(1|1|1) ,  r2 = 3

Círculo de la intersección:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 M(2|2|2),  r = 2,4494897

Plano de la intersección:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 E : x + y + z = 6

Esfera y plano

Plano :
¯¯¯¯¯¯¯
 E : 5·x - 4·y + 5·z = -3

Esfera :
¯¯¯¯¯¯¯
     | ->   ⎧ 1 ⎫|2
 K : | x  - ⎪ 2 ⎪| = 16
     |      ⎩ 3 ⎭|

Círculo de la intersección:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 M(-0,13636|2,9091|1,8636)
 r = 3,548367

Distancias en la esfera (Nuevo en la versión 9.0 desde diciembre de 2021)

Se calcula la distancia entre dos puntos en una esfera.

GPS decimal
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  Berlin : 52.523403, 13.4114
New York : 40.714268, -74.005974

GPS dms
¯¯¯¯¯¯¯
  Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E
New York : 40° 42' 51.3648" N, 74°  0' 21.5064" W
  .
  .
  .
  
Distancia
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
   d = r · α [rad] = 6385,112

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