MatheAss 10.0 − Geometria 3D
Sistemi di coordinati
Trasformazione fra le coordinate cartesiane, le coordinate polari e le coordinate cilindriche.
cartesiano polare cilindrica x = 1 r = 1.7320508 ρ = 1.4142136 y = 1 φ = 45° φ = 45° z = 1 Θ = 35,26439° z = 1
Solidi di Platon
Tutti gli elementi di un tetraedro, un esaedro, un ottaedro, un dodecaedro e un icosaedro sono calcolato.
Tetraedro
Dato:
¯¯¯¯
Sfera circoscritta rc = 1
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Spigolo a = 1,6329932
Altezza della faccia h1 = 1,4142136
Altezza h2 = 1,3333333
Sfera inscritta ri = 0,33333333
Volume V = 0,51320024
Superficie S = 4,6188022
Esaedro
Dato:
¯¯¯¯
Superficie S = 8
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Spigolo a = 1,1547005
Diagonale della faccia d1 = 1,6329932
Diagonale del corpo d2 = 2
Sfera circoscritta rc = 1
Sfera inscritta ri = 0,57735027
Volume V = 1,5396007
Ottaedro
Dato:
¯¯¯¯
Volume V = 4/3
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Spigolo a = 1,4142136
Altezza della faccia h1 = 1,2247449
Altezza h2 = 2
Sfera circoscritta rc = 1
Sfera inscritta ri = 0,57735027
Superficie S = 6,9282032
Dodecaedro
Dato:
¯¯¯¯
Diagonale della faccia d = 2
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Spigolo a = 1,236068
Altezza della faccia h = 1,902113
Sfera circoscritta rc = 1,7320508
Sfera inscritta ri = 1,3763819
Volume V = 14,472136
Superficie S = 31,543867
Icosaedro
Dato:
¯¯¯¯
Altezza h2 = 2
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Spigolo a = 1,0514622
Altezza della faccia h1 = 0,910593
Sfera circoscritta rc = 1
Sfera inscritta ri = 0,79465447
Volume V = 2,5361507
Superficie S = 9,5745414
Altri solidi
Tutti gli elementi di un prisma regolare, di un cilindro circolare destro, di una piramide quadrata, di un cono circolare destro o di una sfera sono calcolato.
Il prisma
Dato:
¯¯¯¯ Vertici n = 4
Volume V = 1
Superficie S = 6
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Spigolo a = 1
Altezza h = 1
Sfera circoscritta rc = 0,70710678
Sfera inscritta ri = 0,5
Base B = 1
Il cilindro circolare
Dato:
¯¯¯¯
Raggio r = 1
Volume V = 1
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Altezza h = 0,31830989
Perimetro p = 6,2831853
Base B = 3,1415927
Superficie laterale L = 2
Superficie S = 8,2831853
La piramide quadrata
Dato:
¯¯¯¯
Spigolo a = 1
Volume V = 1
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Spigolo laterale s = 3,082207
Altezza h1 = 3
Altezza della faccia h2 = 3,0413813
Superficie S = 7,0827625
Superficie laterale A = 1,5206906
Il cono circolare
Dato:
¯¯¯¯
Altezza h = 1
Superficie S = 6
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Raggio r = 0,86994247
Altezza della faccia s = 1,3254433
Volume V = 0,79251901
Superficie laterale L = 3,622443
Base B = 2,377557
La sfera
Dato:
¯¯¯¯
Superficie S = 1
Risultati:
¯¯¯¯¯¯¯
Raggio r = 0,28209479
Diametro d = 0,56418958
Perimetro p = 1,7724539
Volume V = 0,094031597
Cerchio parallelo α = 48°
Raggio r' = 0,18875826
perimetrale u' = 1,1860031
Retta tra due punti
Retta tra A(1|1|1), B(2|5|6)
L'equazione vettoriale
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪
⎩ 1 ⎭ ⎩ 5 ⎭
Distanza dall'origine
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 0,78679579
Proiezione sul piano xy
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Proiezione :-4·x + y = 3
Punto inters. : S1(0,8|0,2|0)
Angolo inters.: 50.490288°
Proiezione sul piano yz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Proiezione :-5·x + 4·y = 1
Punto inters. : S2(0|-3|-4)
Angolo inters.: 8.8763951°
Proiezione sul piano xz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Proiezione -5·x + y = 4
Punto inters. S3(0,75|0|-0,25)
Angolo inters. 38.112927°
Piano tra tre punti
Piano attraverso i punti:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)
L'equazione vettoriale:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 0 ⎫
x = ⎪ 2 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ + s·⎪ 1 ⎪
⎩ 3 ⎭ ⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
L'equ. in coordinate:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x - y + z = 2
Distanza dall'origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,1547005
Punti di traccia:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Sx (2|0|0)
Sy (0|-2|0)
Sz (0|0|2)
Sfera tra 4 punti
Sfera attraverso i punti:
A(1|0|0), B(0|2|0),
C(0|0|3), D(1|0|1)
Forma normale:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
⎧ -> ⎧-2,5 ⎫ ⎫2
K : ⎪ x - ⎪-0,5 ⎪ ⎪ = 12,75
⎩ ⎩ 0,5 ⎭ ⎭
Il centro e il raggio:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
M(-2,5|-0,5|0,5)
r = 3,5707142
Intersezioni nello spazio
Il programma calcola le intersezioni di rette, piani e sfere.
Due rette
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
-> ⎧ 0 ⎫ ⎧ 1 ⎫
h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Intersezione: S(5|5|5)
angolo di intersezione
α = 60°
Distanze di origine:
d(O,g) = 5
d(O,h) = 5
Piano e retta
Piano E
¯¯¯¯¯¯¯
E : x + y + z = 5
Retta g
¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Intersezione S(5|0|0)
Angolo di intersezione
α = 54,73561°
Sfera e retta
Sphere
¯¯¯¯¯¯
K : M(5|5|5) , r = 5
Retta
¯¯¯¯¯
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
Punti di intersezione
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
S1(2,818665|1,818665|1,818665)
S2(8,514668|7,514668|7,514668)
Lunghezza della corda
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
s = 9,8657657
Due piani
I due piani:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
E1: 5·x - 2·y = 5
E2: 2·x - y + 5·z = 8
La retta di intersezione:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
-> ⎧-11 ⎫ ⎧ 10 ⎫
g : x = ⎪-30 ⎪ + r·⎪ 25 ⎪
⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭
La distanza dall'origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1.5057283
L'angolo tra i piani:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
alfa = 65.993637°
Due sfere
Sfere: ¯¯¯¯¯ K1: M1(3|3|3), r1 = 3 K2: M2(1|1|1), r2 = 3 Cerchio di intersezione: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ M(2|2|2), r = 2.4494897 Piano di intersezione: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ E: x + y + z = 6
Sfera e piano
Piano:
¯¯¯¯¯¯
E : 5·x - 4·y + 5·z = -3
La sfera:
¯¯¯¯¯¯¯¯
⎧ -> ⎧ 1 ⎫⎫2
K : ⎪ x - ⎪ 2 ⎪⎪ = 16
⎩ ⎩ 3 ⎭⎭
Cerchio di intersezione:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
M(1|1|1), r = 2
Distance sulla sfera
Viene calcolata la distanza tra due punti su una sfera. Il programma è adatto anche per convertire i gradi decimali in gradi, minuti e secondi (dms) e viceversa.
GPS decimale ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52.523403, 13.4114 New York : 40.714268, -74.005974 GPS dms ¯¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E New York : 40° 42' 51.3648" N, 74° 0' 21.5064" W . . . Distanza ¯¯¯¯¯¯¯¯ d = r · α [rad] = 6385,112
