MatheAss 9.0 − 3-dim. Geometrie

Koordinatensysteme

Mit diesem Programm lassen sich dreidimensionale kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten umrechnen und umgekehrt.

kartesisch           polar                           zylindrisch
   x  =  1              r  =  1.7320508           ρ  =  1.4142136
   y  =  1             φ  =  45°                      φ  =  45°  
   z  =  1             Θ =  35,26439°            z  =  1

Das Programm berechnet die fünf Platonischen Körper Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder, wenn Kantenlänge, Flächenhöhe, Raumhöhe, Inkugelradius, Umkugelradius, Volumen oder Oberfläche gegeben sind.

Beispiel: Dodekaeder

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯ 
 Flächendiagonale d = 2

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯  
                    Kante a = 1,236068
        Flächenhöhe h = 1,902113
    Umkugelradius ru = 1,7320508
        Inkugelradius ri = 1,3763819
               Volumen V = 14,472136
           Oberfläche O = 31,543867

Sonstige Körper

Das Programm berechnet alle Größen eines regelmäßen Prismas, eines senkrechten Kreiszylinders, einer regelmäßen Pyramide, eines senkrechten Kreiskegels oder einer Kugel, wenn zwei von ihnen gegeben sind.

Beispiel: Kreiskegel

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
          Volumen V = 1
    Grundfläche G = 1

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
             Radius r = 0,56418958
               Höhe h = 3
      Mantellinie s = 3,0525907
  Mantelfläche M = 5,4105761
     Oberfläche O = 6,4105761

Gerade durch 2 Punkte

Gerade A(1|1|1), B(2|5|6)

Parameterdarstellung
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫
  x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪
      ⎩ 1 ⎭     ⎩ 5 ⎭

Abstand vom Ursprung
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 d = 0,78679579

Lage zur xy-Ebene
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 4·x - y = 3
Schnittpkt: S1(0,8|0,2|0)
Schnittwkl: 50,490288°

Lage zur yz-Ebene
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - 4·y = 1
Schnittpkt: S2(0|-3|-4)
Schnittwkl: 8,8763951°

Lage zur xz-Ebene
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - y = 4
Schnittpkt: S3(0,75|0|-0,25)
Schnittwkl: 38,112927°

Ebene durch 3 Punkte

Ebene durch die Punkte:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)

Punkt-Richtungs-Form:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫     ⎧ 0 ⎫
x = ⎪ 2 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ + s·⎪ 1 ⎪
    ⎩ 3 ⎭     ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Koordinatengleichung:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x - y + z = 2

Abstand vom Ursprung:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,1547005

Spurpunkte:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  Sx(2|0|0)
  Sy(0|-2|0)
  Sz(0|0|2)

Kugel durch 4 Punkte

Kugel durch die Punkte: 
A(1|0|0), B(0|2|0), 
C(0|0|3), D(1|0|1)

Normalform:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    | ->  ⎧-2,5 ⎫ |2 
 K: | x - ⎪-0,5 ⎪ |  = 12,75
    |     ⎩ 0,5 ⎭ |

Mittelpunkt und Radius:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  M(-2,5|-0,5|0,5)
  r = 3,5707142

Schnitte im Raum

Das Programm berechnet die Schnitte von Geraden, Ebenen und Kugeln.

zwei Geraden

    ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

    ->  ⎧ 0 ⎫     ⎧ 1 ⎫
h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Schnittpunkt : S(5|5|5)

Schnittwinkel: 60°

Abstände zum Ursprung :  
  d(O,g)=5  d(O,h)=5

Ebene und Gerade

      ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫
  g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
          ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭


E : x + y + z = 5


Schnittpunkt :  S(5|0|0)

Schnittwinkel:  54,73561°

Kugel und Gerade

     ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫
 g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
         ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭


K : M(5|5|5) ,  r = 5


Schnittpunkte :
 S1(2,8187|1,8187|1,8187)
 S2(8,5147|7,5147|7,5147)

Länge der Sehne :
 s = 9,8657657

zwei Ebenen

Gegeben sind die Ebenen:
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E1 : 5·x - 2·y = 5
E2 : 2·x - y + 5·z = 8

Schnittgerade der Ebenen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    ->  |-11 |     | 10 |
g : x = |-30 | + r·| 25 |
        |  0 |     |  1 |

Abstand vom Ursprung:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 d = 1,5057283

Schnittwinkel der Ebenen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 α = 65,993637°

zwei Kugeln

Gegeben sind die Kugeln:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
K1 : M1(3|3|3) ,  r1 = 3
K2 : M2(1|1|1) ,  r2 = 3

Schnittkreis:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 M(2|2|2),  r = 2,4494897

Schnittebene:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 E : x + y + z = 6

Kugel und Ebene

Ebene :
¯¯¯¯¯¯¯
 E : 5·x - 4·y + 5·z = -3

Kugel :
¯¯¯¯¯¯¯
     | ->   ⎧ 1 ⎫|2
 K : | x  - ⎪ 2 ⎪| = 16
     |      ⎩ 3 ⎭|

Schnittkreis von K und E :
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 M(-0,13636|2,9091|1,8636)
 r = 3,548367

Entfernungen auf der Kugel (Neu in Version 9.0 ab Dezember 2021)

Berechnet wird die Entfernung zwischen zwei Punkten auf einer Kugel. Dabei werden eine Reihe von Funktionen von MatheAss zusammengefasst.

GPS dezimal
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  Berlin : 52.523403, 13.4114
New York : 40.714268, -74.005974

GPS dms
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  Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E
New York : 40° 42' 51.3648" N, 74°  0' 21.5064" W
  .
  .
  .
  
Entfernung
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
   d = r · α [rad] = 6385,112