MatheAss 9.0 − 3-dim. Geometrie

Koordinatensysteme

Mit diesem Programm lassen sich dreidimensionale kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten umrechnen und umgekehrt.


kartesisch           polar                           zylindrisch
   x  =  1              r  =  1.7320508           ρ  =  1.4142136
   y  =  1             φ  =  45°                      φ  =  45°  
   z  =  1             Θ =  35,26439°            z  =  1      

Platonische Körper

Das Programm berechnet die fünf Platonischen Körper Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder, wenn Kantenlänge, Flächenhöhe, Raumhöhe, Inkugelradius, Umkugelradius, Volumen oder Oberfläche gegeben sind.

Tetraeder

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
Umkugelradius ru = 1

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
               Kante a = 1,6329932
  Flächenhöhe h1 = 1,4142136
     Raumhöhe h2 = 1,3333333 
   Inkugelradius ri = 0,33333333
          Volumen V = 0,51320024
      Oberfläche O = 4,6188022

Hexaeder

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
             Oberfläche O = 8

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
                      Kante a = 1,1547005
 Flächendiagonale d1 = 1,6329932
    Raumdiagonale d2 = 2
      Umkugelradius ru = 1	
          Inkugelradius ri = 0,57735027
                 Volumen V = 1,5396007

Oktaeder

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
          Volumen V = 4/3

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
               Kante a = 1,4142136
  Flächenhöhe h1 = 1,2247449
     Raumhöhe h2 = 2
Umkugelradius ru = 1	 
   Inkugelradius ri = 0,57735027
      Oberfläche O = 6,9282032

Dodekaeder

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯ 
 Flächendiagonale d = 2

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯  
                    Kante a = 1,236068
        Flächenhöhe h = 1,902113
    Umkugelradius ru = 1,7320508
        Inkugelradius ri = 1,3763819
               Volumen V = 14,472136
           Oberfläche O = 31,543867

Ikosaeder

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
       Raumhöhe h2 = 2

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
                 Kante a = 1,0514622
    Flächenhöhe h1 = 0,910593
  Umkugelradius ru = 1
      Inkugelradius ri = 0,79465447
             Volumen V = 2,5361507
         Oberfläche O = 9,5745414

Sonstige Körper

Das Programm berechnet alle Größen eines regelmäßen Prismas, eines senkrechten Kreiszylinders, einer quadratischen Pyramide, eines senkrechten Kreiskegels oder einer Kugel, wenn zwei von ihnen gegeben sind.

Das Prisma

Gegeben:        n = 4
¯¯¯¯¯¯¯¯
        Volumen  V = 1
    Oberfläche  O = 6

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
              Seite  a = 1
              Höhe  h = 1
Umkreisradius ru = 0,70710678
   Inkreisradius ri  = 0,5
   Grundfläche  G = 1

Der Kreiszylinder

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
            Radius r = 1
        Volumen V = 1

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
              Höhe h = 0,31830989
          Umfang u = 6,2831853
  Grundfläche G = 3,1415927
 Mantelfläche M = 2
    Oberfläche O = 8,2831853

Die quadr. Pyramide

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
   Grundkante a = 1
        Volumen V = 1
		
Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
   Seitenkante s = 3,082207
  Raumhöhe h1 = 3
  Seitenhöhe h2 = 3,0413813
    Oberfläche O = 7,0827625
  Seitenfläche A = 1,5206906

Der Kreiskegel

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
          Volumen V = 1
    Grundfläche G = 1

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
             Radius r = 0,56418958
               Höhe h = 3
      Mantellinie s = 3,0525907
  Mantelfläche M = 5,4105761
     Oberfläche O = 6,4105761

Die Kugel

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
   Oberfläche O = 1

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
            Radius r = 0,28209479
 Durchmesser d = 0,56418958
         Umfang u = 1,7724539
       Volumen V = 0,094031597



Gerade durch 2 Punkte

Gerade A(1|1|1), B(2|5|6)

Parameterdarstellung
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫
  x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪
      ⎩ 1 ⎭     ⎩ 5 ⎭

Abstand vom Ursprung
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 d = 0,78679579

Lage zur xy-Ebene
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 4·x - y = 3
Schnittpkt: S1(0,8|0,2|0)
Schnittwkl: 50,490288°

Lage zur yz-Ebene
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - 4·y = 1
Schnittpkt: S2(0|-3|-4)
Schnittwkl: 8,8763951°

Lage zur xz-Ebene
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - y = 4
Schnittpkt: S3(0,75|0|-0,25)
Schnittwkl: 38,112927°

Ebene durch 3 Punkte

Ebene durch die Punkte:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)

Punkt-Richtungs-Form:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫     ⎧ 0 ⎫
x = ⎪ 2 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ + s·⎪ 1 ⎪
    ⎩ 3 ⎭     ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Koordinatengleichung:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x - y + z = 2

Abstand vom Ursprung:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,1547005

Spurpunkte:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  Sx(2|0|0)
  Sy(0|-2|0)
  Sz(0|0|2)







Kugel durch 4 Punkte

Kugel durch die Punkte: 
A(1|0|0), B(0|2|0), 
C(0|0|3), D(1|0|1)

Normalform:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    | ->  ⎧-2,5 ⎫ |2 
 K: | x - ⎪-0,5 ⎪ |  = 12,75
    |     ⎩ 0,5 ⎭ |

Mittelpunkt und Radius:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  M(-2,5|-0,5|0,5)
  r = 3,5707142
















Schnitte im Raum

Das Programm berechnet die Schnitte von Geraden, Ebenen und Kugeln.

zwei Geraden

    ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

    ->  ⎧ 0 ⎫     ⎧ 1 ⎫
h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Schnittpunkt : S(5|5|5)

Schnittwinkel: 60°

Abstände zum Ursprung :  
  d(O,g)=5  d(O,h)=5

Ebene und Gerade

      ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫
  g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
          ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭


E : x + y + z = 5


Schnittpunkt :  S(5|0|0)

Schnittwinkel:  54,73561°



Kugel und Gerade

     ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫
 g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
         ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭


K : M(5|5|5) ,  r = 5


Schnittpunkte :
 S1(2,8187|1,8187|1,8187)
 S2(8,5147|7,5147|7,5147)

Länge der Sehne :
 s = 9,8657657

zwei Ebenen

Gegeben sind die Ebenen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
E1 : 5·x - 2·y = 5
E2 : 2·x - y + 5·z = 8

Schnittgerade der Ebenen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    ->  |-11 |     | 10 |
g : x = |-30 | + r·| 25 |
        |  0 |     |  1 |

Abstand vom Ursprung:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 d = 1,5057283

Schnittwinkel der Ebenen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 α = 65,993637°

zwei Kugeln

Gegeben sind die Kugeln:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
K1 : M1(3|3|3) ,  r1 = 3
K2 : M2(1|1|1) ,  r2 = 3

Schnittkreis:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 M(2|2|2),  r = 2,4494897

Schnittebene:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 E : x + y + z = 6
  
  
  
  
  
  

Kugel und Ebene

Ebene :
¯¯¯¯¯¯¯
 E : 5·x - 4·y + 5·z = -3

Kugel :
¯¯¯¯¯¯¯
     | ->   ⎧ 1 ⎫|2
 K : | x  - ⎪ 2 ⎪| = 16
     |      ⎩ 3 ⎭|

Schnittkreis von K und E :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 M(-0,13636|2,9091|1,8636)
 r = 3,548367
  
  
  
  


Entfernungen auf der Kugel   (Neu in Version 9.0 ab Dezember 2021)

Berechnet wird die Entfernung zwischen zwei Punkten auf einer Kugel. Dabei werden eine Reihe von Funktionen von MatheAss zusammengefasst.

GPS dezimal
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  Berlin : 52.523403, 13.4114
New York : 40.714268, -74.005974

GPS dms
¯¯¯¯¯¯¯
  Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E
New York : 40° 42' 51.3648" N, 74°  0' 21.5064" W
  .
  .
  .
  
Entfernung
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
   d = r · α [rad] = 6385,112