MatheAss 9.0 − 3-dim. Geometrie
Koordinatensysteme
Mit diesem Programm lassen sich dreidimensionale kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten umrechnen und umgekehrt.

kartesisch polar zylindrisch x = 1 r = 1.7320508 ρ = 1.4142136 y = 1 φ = 45° φ = 45° z = 1 Θ = 35,26439° z = 1
Platonische Körper
Das Programm berechnet die fünf Platonischen Körper Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder, wenn Kantenlänge, Flächenhöhe, Raumhöhe, Inkugelradius, Umkugelradius, Volumen oder Oberfläche gegeben sind.
Beispiel: Dodekaeder
Gegeben: ¯¯¯¯¯¯¯¯ Flächendiagonale d = 2 Ergebnisse: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Kante a = 1,236068 Flächenhöhe h = 1,902113 Umkugelradius ru = 1,7320508 Inkugelradius ri = 1,3763819 Volumen V = 14,472136 Oberfläche O = 31,543867

Sonstige Körper
Das Programm berechnet alle Größen eines regelmäßen Prismas, eines senkrechten Kreiszylinders, einer regelmäßen Pyramide, eines senkrechten Kreiskegels oder einer Kugel, wenn zwei von ihnen gegeben sind.
Beispiel: Kreiskegel
Gegeben: ¯¯¯¯¯¯¯¯ Volumen V = 1 Grundfläche G = 1 Ergebnisse: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Radius r = 0,56418958 Höhe h = 3 Mantellinie s = 3,0525907 Mantelfläche M = 5,4105761 Oberfläche O = 6,4105761

Gerade durch 2 Punkte
Gerade A(1|1|1), B(2|5|6) Parameterdarstellung ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ -> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪ ⎩ 1 ⎭ ⎩ 5 ⎭ Abstand vom Ursprung ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ d = 0,78679579 Lage zur xy-Ebene ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ senkr.Proj: 4·x - y = 3 Schnittpkt: S1(0,8|0,2|0) Schnittwkl: 50,490288° Lage zur yz-Ebene ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ senkr.Proj: 5·x - 4·y = 1 Schnittpkt: S2(0|-3|-4) Schnittwkl: 8,8763951° Lage zur xz-Ebene ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ senkr.Proj: 5·x - y = 4 Schnittpkt: S3(0,75|0|-0,25) Schnittwkl: 38,112927°
Ebene durch 3 Punkte
Ebene durch die Punkte: A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1) Punkt-Richtungs-Form: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ -> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ ⎧ 0 ⎫ x = ⎪ 2 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ + s·⎪ 1 ⎪ ⎩ 3 ⎭ ⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭ Koordinatengleichung: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ x - y + z = 2 Abstand vom Ursprung: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ d = 1,1547005 Spurpunkte: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Sx(2|0|0) Sy(0|-2|0) Sz(0|0|2)
Kugel durch 4 Punkte
Kugel durch die Punkte: A(1|0|0), B(0|2|0), C(0|0|3), D(1|0|1) Normalform: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ | -> ⎧-2,5 ⎫ |2 K: | x - ⎪-0,5 ⎪ | = 12,75 | ⎩ 0,5 ⎭ | Mittelpunkt und Radius: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ M(-2,5|-0,5|0,5) r = 3,5707142
Schnitte im Raum
Das Programm berechnet die Schnitte von Geraden, Ebenen und Kugeln.
zwei Geraden
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫ g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ ⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭ -> ⎧ 0 ⎫ ⎧ 1 ⎫ h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪ ⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭ Schnittpunkt : S(5|5|5) Schnittwinkel: 60° Abstände zum Ursprung : d(O,g)=5 d(O,h)=5
Ebene und Gerade
-> ⎧ 5 ⎫ ⎧ 0 ⎫ g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ ⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭ E : x + y + z = 5 Schnittpunkt : S(5|0|0) Schnittwinkel: 54,73561°
Kugel und Gerade
-> ⎧ 1 ⎫ ⎧ 1 ⎫ g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪ ⎩ 0 ⎭ ⎩ 1 ⎭ K : M(5|5|5) , r = 5 Schnittpunkte : S1(2,8187|1,8187|1,8187) S2(8,5147|7,5147|7,5147) Länge der Sehne : s = 9,8657657
zwei Ebenen
Gegeben sind die Ebenen: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ E1 : 5·x - 2·y = 5 E2 : 2·x - y + 5·z = 8 Schnittgerade der Ebenen: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ -> |-11 | | 10 | g : x = |-30 | + r·| 25 | | 0 | | 1 | Abstand vom Ursprung: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ d = 1,5057283 Schnittwinkel der Ebenen: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ α = 65,993637°
zwei Kugeln
Gegeben sind die Kugeln: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ K1 : M1(3|3|3) , r1 = 3 K2 : M2(1|1|1) , r2 = 3 Schnittkreis: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ M(2|2|2), r = 2,4494897 Schnittebene: ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ E : x + y + z = 6
Kugel und Ebene
Ebene : ¯¯¯¯¯¯¯ E : 5·x - 4·y + 5·z = -3 Kugel : ¯¯¯¯¯¯¯ | -> ⎧ 1 ⎫|2 K : | x - ⎪ 2 ⎪| = 16 | ⎩ 3 ⎭| Schnittkreis von K und E : ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ M(-0,13636|2,9091|1,8636) r = 3,548367






Entfernungen auf der Kugel
(Neu in Version 9.0 ab Dezember 2021)
Berechnet wird die Entfernung zwischen zwei Punkten auf einer Kugel. Dabei werden eine Reihe von Funktionen von MatheAss zusammengefasst.
GPS dezimal ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52.523403, 13.4114 New York : 40.714268, -74.005974 GPS dms ¯¯¯¯¯¯¯ Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E New York : 40° 42' 51.3648" N, 74° 0' 21.5064" W . . . Entfernung ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ d = r · α [rad] = 6385,112