MatheAss 9.0 − 3-dim. Geometrie

Koordinatensysteme

Mit diesem Programm lassen sich dreidimensionale kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten oder Zylinderkoordinaten umrechnen und umgekehrt.

Ausgabe:

kartesisch           polar                           zylindrisch
   x  =  1              r  =  1.7320508           ρ  =  1.4142136
   y  =  1             φ  =  45°                      φ  =  45°  
   z  =  1             Θ =  35,26439°            z  =  1

Das Programm berechnet die fünf Platonischen Körper Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder, wenn Kantenlänge, Flächenhöhe, Raumhöhe, Inkugelradius, Umkugelradius, Volumen oder Oberfläche gegeben sind.

Beispiel: Dodekaeder

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯ 
 Flächendiagonale d = 2

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯  
                    Kante a = 1,236068
        Flächenhöhe h = 1,902113
    Umkugelradius ru = 1,7320508
        Inkugelradius ri = 1,3763819
               Volumen V = 14,472136
           Oberfläche O = 31,543867

Sonstige Körper

Das Programm berechnet alle Größen eines regelmäßen Prismas, eines senkrechten Kreiszylinders, einer regelmäßen Pyramide, eines senkrechten Kreiskegels oder einer Kugel, wenn zwei von ihnen gegeben sind.

Beispiel: Kreiskegel

Gegeben:
¯¯¯¯¯¯¯¯
          Volumen V = 1
    Grundfläche G = 1

Ergebnisse:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
             Radius r = 0,56418958
               Höhe h = 3
      Mantellinie s = 3,0525907
  Mantelfläche M = 5,4105761
     Oberfläche O = 6,4105761

Gerade durch 2 Punkte

Gerade A(1|1|1), B(2|5|6)

Parameterdarstellung
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 ->  | 1 |     | 1 |
 x = | 1 | + t·| 4 |
     | 1 |     | 5 |

Abstand vom Ursprung
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 d = 0,78679579

Lage zur xy-Ebene
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 4·x - y = 3
Schnittpkt: S1(0,8|0,2|0)
Schnittwkl: 50,490288°

Lage zur yz-Ebene
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - 4·y = 1
Schnittpkt: S2(0|-3|-4)
Schnittwkl: 8,8763951°

Lage zur xz-Ebene
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
senkr.Proj: 5·x - y = 4
Schnittpkt: S3(0,75|0|-0,25)
Schnittwkl: 38,112927°

Ebene durch 3 Punkte

Ebene durch die Punkte:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)

Punkt-Richtungs-Form:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
->  | 1 |     | 1 |     | 0 |
x = | 2 | + r·| 1 | + s·| 1 |
    | 3 |     | 0 |     | 1 |

Koordinatengleichung:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x - y + z = 2

Abstand vom Ursprung:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,1547005

Spurpunkte:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  Sx(2|0|0)
  Sy(0|-2|0)
  Sz(0|0|2)

Kugel durch 4 Punkte

Kugel durch die Punkte: 
A(1|0|0), B(0|2|0), 
C(0|0|3), D(1|0|1)

Normalform:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
| ->   |-2,5 | |2 
| x  - |-0,5 | | = 12,75
|      | 0,5 | |

Mittelpunkt und Radius:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  M(-2,5|-0,5|0,5)
  r = 3,5707142

Schnitte im Raum

Das Programm berechnet die Schnitte von Geraden, Ebenen und Kugeln.

zwei Geraden

    ->  | 5 |     | 0 |
g : x = | 0 | + r·| 1 |
        | 0 |     | 1 |

    ->  | 0 |     | 1 |
h : x = | 5 | + s·| 0 |
        | 0 |     | 1 |

Schnittpunkt : S(5|5|5)

Schnittwinkel: 60°

Abstände zum Ursprung :  
  d(O,g)=5  d(O,h)=5

Gerade und Ebene

    ->  | 5 |     | 0 |
g : x = | 0 | + r·| 1 |
        | 0 |     | 1 |


E : x + y + z = 5


Schnittpunkt :  S(5|0|0)

Schnittwinkel:  54,73561°

Gerade und Kugel

    ->  | 1 |     | 1 |
g : x = | 0 | + r·| 1 |
        | 0 |     | 1 |


K : M(5|5|5) ,  r = 5


Schnittpunkte :
 S1(2,8187|1,8187|1,8187)
 S2(8,5147|7,5147|7,5147)

Länge der Sehne :
 s = 9,8657657

zwei Ebenen

Gegeben sind die Ebenen:
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E1 : 5·x - 2·y = 5
E2 : 2·x - y + 5·z = 8

Schnittgerade der Ebenen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    ->  |-11 |     | 10 |
g : x = |-30 | + r·| 25 |
        |  0 |     |  1 |

Abstand vom Ursprung:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 d = 1,5057283

Schnittwinkel der Ebenen:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 α = 65,993637°

zwei Kugeln

Gegeben sind die Kugeln:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
K1 : M1(3|3|3) ,  r1 = 3
K2 : M2(1|1|1) ,  r2 = 3

Schnittkreis:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 M(2|2|2),  r = 2,4494897

Schnittebene:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 E : x + y + z = 6

Ebene und Kugel

Ebene :
¯¯¯¯¯¯¯
 E : 5·x - 4·y + 5·z = -3

Kugel :
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     | ->   | 1 ||2
 K : | x  - | 2 || = 16
     |      | 3 ||

Schnittkreis von K und E :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 M(-0,136364|2,90909|1,86364)
 r = 3,548367