MatheAss 9.0 − Lineare Algebra

Lineare Gleichungssysteme

Das Programm bestimmt den Lösungsvektor von einem System linearer Gleichungen mit n Gleichungen und n Unbekannten.

Beispiel : Sucht man eine Parabel durch die Punkte P(1/3), Q(2/1) und R(4/9), so führt dies auf das Gleichungssystem

  1·x1 + 1·x2 + 1·x3 = 3
  4·x1 + 2·x2 + 1·x3 = 1
 16·x1 + 4·x2 + 1·x3 = 9   
            
 L = ( 2; -8; 9 )

Die Parabel hat also die Gleichung y = 2x2 - 8x + 9.

Beispiel mit zweidim. Lösungsraum:

  0·x1 + 0·x2 + 2·x3 - 1·x4  =  1
  1·x1 + 1·x2 + 1·x3 + 1·x4  =  4
  2·x1 + 2·x2 - 4·x3 + 5·x4  =  5
  1·x1 + 1·x2 - 7·x3 + 5·x4  =  0

  L = { ( 3,5-s-1,5t; s; 0,5+0,5t; t ) | s,t ∈ R }

Linearkombination

Das Programm bestimmt die Linearkombination eines Vektors aus drei gegebenen Vektoren. Die Routine eignet sich auch dazu, die lineare Unabhängigkeit vondrei Vektoren im Raum zu prüfen, das heißt, ob sie in einer Ebene liegen.

    ⎧ 1 ⎫     ⎧ 2 ⎫     ⎧ 0 ⎫   ⎧ 2 ⎫
  a·⎪ 2 ⎪ + b·⎪ 1 ⎪ + c·⎪ 1 ⎪ = ⎪ 3 ⎪   
    ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭     ⎩ 0 ⎭   ⎩ 7 ⎭

Lösung :
  a = -12  b = 7  c = 20

Skalarprodukt

Das Programm berechnet zu zwei Vektoren deren Skalarprodukt, die Länge der beiden Vektoren und den eingeschlossenen Winkel.

   ->  ⎧ 1 ⎫   ->  ⎧ 5 ⎫
   a = ⎪ 3 ⎪   b = ⎪ 0 ⎪
       ⎩ 1 ⎭       ⎩ 3 ⎭

Skalarprodukt der Vektoren = 8

Länge des ersten Vektors   = √11 = 3,3166248
Länge des zweiten Vektors  = √34 = 5,8309519

eingeschlossener Winkel  α = 65,564402°

Vektorprodukt

Das Programm berechnet zu zwei Vektoren das Vektorprodukt, sowie seinen Betrag. Das Vektorprodukt steht auf dem von ihnen aufgespannten Parallelogramm senkrecht, und sein Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms.

     ->  ⎧ 1 ⎫     ->  ⎧ 7 ⎫
     a = ⎪ 2 ⎪     b = ⎪ 1 ⎪
         ⎩ 3 ⎭         ⎩ 4 ⎭

 ->  ->  ⎧  5 ⎫    ->  ->  
 a x b = ⎪ 17 ⎪   |a x b|= √483 = 21,977261
         ⎩-13 ⎭

Spatprodukt

Das Programm berechnet zu drei Vektoren das Spatprodukt. Sein Betrag gibt dasVolumen des verschobenen Quaders (Spat) an, der von den drei Vektoren aufgespannt wird.

  ->  ⎧ 2 ⎫     ->  ⎧ 2 ⎫     ->  ⎧ 3 ⎫   
  a = ⎪ 3 ⎪     b = ⎪-1 ⎪     c = ⎪ 9 ⎪
      ⎩ 5 ⎭         ⎩ 7 ⎭         ⎩ 2 ⎭

    ->  ->    ->  
  ( a x b ) · c = 26

Matrizeninversion

Das Programm berechnet zu einer quadratischen Matrix der Ordnung n dieDeterminante, den Rang und die inverse Matrix.

Matrix: 

  ⎧  0  1  1  ⎫
  ⎪  0  1  3  ⎪
  ⎩  2  0  1  ⎭

Inverse Matrix

  ⎧  0,25 -0,25  0,5  ⎫
  ⎪   1,5  -0,5    0  ⎪
  ⎩  -0,5   0,5    0  ⎭

Ordnung = 3,  Rang = 3,  Determinante = 4

Pseudoinverse Matrix

Sind die Spalten einer Matrix  A  linear unabhängig, so ist  AT· A  invertierbar und man erhält mit folgender Formel die Pseudoinverse:

A+ = ( AT· A )-1· AT

Dabei ist  A+  eine Linksinverse von  A , das heißt es gilt:  A+ · A = E .

Matrix A
¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧  1  1  1  1  ⎫
  ⎩  5  7  7  9  ⎭

AT· A
¯¯¯¯¯
  ⎧  26  36  36  46  ⎫
  ⎪  36  50  50  64  ⎪
  ⎪  36  50  50  64  ⎪
  ⎩  46  64  64  82  ⎭

AT· A nicht invertierbar

A · AT
¯¯¯¯¯¯
  ⎧   4   28  ⎫
  ⎩  28  204  ⎭

( A · AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧  6,375 -0,875  ⎫
  ⎩ -0,875  0,125  ⎭

Rechtsinverse:  AT · ( A · AT )-1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ⎧     2  -0,25  ⎫
  ⎪  0,25      0  ⎪
  ⎪  0,25      0  ⎪
  ⎩  -1,5   0,25  ⎭

Matrizenmultiplikation

Das Programm berechnet zu zwei Matrizen die Produktmatrix.

 1. Matrix           2. Matrix

  ⎧  1  2  3  0  ⎫   ⎧  1   2   3   4  ⎫
  ⎪  4  5  6  0  ⎪   ⎪  5   6   7   8  ⎪
  ⎪  0  0  0  0  ⎪   ⎪  9  10  11  12  ⎪
  ⎩  0  0  0  0  ⎭   ⎩  0   0   0   0  ⎭

 Produktmatrix
  
  ⎧  38  44   50   56  ⎫
  ⎪  83  98  113  128  ⎪
  ⎪   0   0   0    0   ⎪
  ⎩   0   0   0    0   ⎭