Stochastik

Statistik

Zu einer Urliste werden der Mittelwert (arithmetisches Mittel), der Zentralwert (Median), die Varianz und die Standardabweichung bestimmt. Zusätzlich wird die Verteilung als Histogramm und als Box-Plot ausgegegeben.

Daten:
9 6 7 7 3 9 10 1 8 7 9 6 9 8 10 5 10 10 9 11 8

Anzahl der Daten       n = 21
Maximum               max = 11
Minimum                 min = 1
Mittelwert                    x = 7,7142857
Zentralwert                 c = 8
Varianz                      s² = 6,1142857
Standardabweichung s = 2,4727082

Regression

Mit dieser Routine können Sie zu einer Messreihe eine Kurvenanpassung durchführen. Sie können zwischen folgenden Anpassungen wählen und bei Bedarf alle Punkte in x- oder y-Richtung verschieben bzw. strecken.

Ursprungsgerade   ( y = a·x )

Lineare Regression   ( y = a·x + b )

Polynomregression n-ter Ordnung   ( y = a0 + ... + an·xn )

Geometrische Regression   ( y = a·xb )

Exponentielle Regression   ( y = a·bx )

Logarithmische Regression   ( y = a + b·ln(x) )

Zusammen mit dem Schaubild werden der Funktionsterm der Näherungskurve, das Bestimmtheitsmaß, der Korrelationskoeffizient und die Standardabweichung ausgegeben.

Polynom-Regression

y =  − 2,6299435
      + 3,8516949·x
      − 0,43361582·x2

Bestimmtheitsmaß     = 0,98338318
Korrelationskoeff.       = 0,99165679
Standardabweichung = 0,46028731

Logistische Regression   (Neu in Version 9.0)

Das Programm bestimmt zu einer Messreihe eine Kurvenanpassung an die Logistische Funktion  
mit den Parametern    a1 = ƒ(0)·S ,  a2 = ƒ(0) ,  a3 = S - ƒ(0) ,  und  a4 = -k·S  und der Sättigungsgrenze S .

Daten aus: "Hopfenwachstum.csv"

Sättigungsgrenze: 6
         Dunkelziffer: 1

                                 4,0189
ƒ(x) = ————————————————
             0,66981 + 5,3302 · e^(-0,35622·t)

Wendepunkt W(5,8226/3)

Maximale Wachstumsrate  ƒ'(xw) = 0,53433

8 Werte 
Bestimmtheitsmaß      = 0,99383916
Korrelationskoeff.       = 0,99691482
Standardabweichung = 0,16172584	

Kombinatorik

Berechnet werden die Anzahlen der Möglichkeiten, aus n Elementen k auszuwählen, wenn auf die Reihenfolge Wert gelegt wird oder nicht und wenn Wiederholungen zugelassen sind oder nicht.

n = 49 ,  k = 6

Geordnete Auswahl ohne Wiederh.= 10 068 347 520
Geordnete Auswahl mit  Wiederh.  = 13 841 287 201
Ungeordnete Ausw. ohne Wiederh.= 13 983 816
Ungeordnete Ausw. mit  Wiederh.  = 25 827 165

Permutationen von k :                k ! = 720

Binomialverteilung

Berechnet werden für eine b(k;n;p) verteilte Zufallsgröße X bei festem n und festem p

- ein Stabdiagramm der Wahrscheinlichkeiten P( X = k )
- ihre numerischen Werte in einem Intervall [k-min;k-max]
- die Wahrscheinlichkeit P( k-min <= X <= k-max)

n = 50             p = 0,3

    k         P(X=k)       P(0<=X<=k) 
  ——————    ——————————     ——————————
  8         0,01098914     0,01825335
  9         0,02197829     0,04023163
  10        0,03861899     0,07885062
  11        0,06018544     0,13903606
  12        0,08382972     0,22286578
  13        0,10501745     0,32788324
  14        0,11894834     0,44683157
  15        0,12234686     0,56917844
  16        0,11470018     0,68387862
  17        0,09831444     0,78219306
  18        0,07724706     0,85944012
  19        0,05575728     0,91519740
  20        0,03703876     0,95223616
  21        0,02267679     0,97491296
  22        0,01281092     0,98772387
  ——————    ——————————     ——————————
  P(8<=k<=22) =            0,98045967

Hypergeometrische Verteilung

Berechnet werden für eine h(k;n;m;r) verteilte Zufallsgröße X bei bei festem n, m und festem r ein Stabdiagramm und eine Wertetabelle für die Wahrscheinlichkeiten P( X = k ).


Normalverteilung

Berechnet werden für eine N(µ,s²) verteilte Zufallsgröße X mit gegebenem Erwartungswert µ und Varianz s² die Dichtefunktion f(x) und die Verteilungsfunktion Phi(x), das heißt das Integral über f(t) .

  My = 5              Sigma = .75

      x          f(x)        Phi(x))   
  ——————————  ——————————   ——————————
  2           0,00017844   0,00003167
  2,33333333  0,00095649   0,00018859
  2,66666666  0,00420802   0,00093192
  2,99999999  0,01519465   0,00383038
  3,33333332  0,04503153   0,01313415
  3,66666665  0,10953585   0,03772017
  3,99999998  0,21868009   0,09121120
  4,33333331  0,35832381   0,18703139
  4,66666664  0,48189843   0,32836063
  4,99999997  0,53192304   0,49999998
  5,3333333   0,48189845   0,67163934
  5,66666663  0,35832383   0,81296859
  5,99999996  0,21868012   0,90878878
  6,33333329  0,10953586   0,96227982
  6,66666662  0,04503154   0,98686585
  6,99999995  0,01519465   0,99616962
  7,33333328  0,00420802   0,99906808
  7,66666661  0,00095649   0,99981141
  7,99999994  0,00017844   0,99996833