MatheAss 10.0 − Geometrie 3D

Sisteme de coordonate

Cu acest program, coordonatele carteziene tridimensionale pot fi convertite în coordonate sferice sau coordonate cilindrice şi invers.

cartezian            polar                           cilindric
   x  =  1              r  =  1.7320508           ρ  =  1.4142136
   y  =  1             φ  =  45°                      φ  =  45°  
   z  =  1             Θ =  35,26439°            z  =  1

Programul calculează cele cinci corpuri platonice: tetraedru, hexaedru, octaedru, dodecaedru şi icosaedru dacă sunt date lungimea muchiei, înălþimea feþei, înălþimea spaþiului, raza cercului înscris, raza cercului circumscris, volumul sau suprafaþa.

Exemplu: Dodecaedru

Dat:
¯¯¯¯¯¯
   Diagonala feþei d = 2

Rezultate:
¯¯¯¯¯¯¯
                         Muchie a = 1,236068
            Înălþimea feþei h = 1,902113
Raza cerc. circumscris rc = 1,7320508
        Raza cerc. înscris ri = 1,3763819
                         Volum V = 14,472136
                   Suprafaþă S = 31,543867

Alte corpuri

Programul calculează toate mărimile unui prism regulat, ale unui cilindru circular drept, ale unei piramide regulate, ale unui con circular drept sau ale unei sfere dacă sunt date două dintre acestea.

Exemplu: Con circular

Dat:
¯¯¯¯¯¯
            Volum V = 1
                Baza B = 1

Rezultate:
¯¯¯¯¯¯¯
                       Raza r = 0,56418958
               Înălþimea h = 3
                Apotema s = 3,0525907
 Suprafaþa laterală L = 5,4105761
             Suprafaþa S = 6,4105761

Dreaptă prin 2 puncte

Dreaptă prin  A(1|1|1), B(2|5|6)

Reprezentare parametrică
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫
  x = ⎪ 1 ⎪ + t·⎪ 4 ⎪
      ⎩ 1 ⎭     ⎩ 5 ⎭

Distanþa faþă de origine
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  d = 0,78679579

Poziþia faþă de planul xy
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 Proiecþie  : 4·x - y = 3
 Punct inters.: S1(0,8|0,2|0)
 Unghi inters.: 50,490288°

Poziþia faþă de planul yz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 Proiecþie  : 5·y - 4·z = 1
 Punct inters.: S2(0|-3|-4)
 Unghi inters.: 8,8763951°

Poziþia faþă de planul xz
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 Proiecþie  : 5·x - z = 4
 Punct inters.: S3(0,75|0|-0,25)
 Unghi inters.: 38,112927°

Plan prin 3 puncte

Plan prin punctele:
A(1|2|3), B(2|3|3), C(1|0|1)

Formă punct-pantă:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
->  ⎧ 1 ⎫   ⎧ 1 ⎫   ⎧ 0 ⎫
x = ⎪ 2 ⎪+r·⎪ 1 ⎪+s·⎪ 1 ⎪
    ⎩ 3 ⎭   ⎩ 0 ⎭   ⎩ 1 ⎭

Ecuaþia în coordonate:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
x - y + z = 2

Distanþa faþă de origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
d = 1,1547005

Puncte de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
Sx(2|0|0) 
Sy(0|-2|0) 
Sz(0|0|2)

Sferă prin 4 puncte

Sferă prin punctele: 
A(1|0|0), B(0|2|0), 
C(0|0|3), D(1|0|1)

Formă normală:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    ⎧ ->  ⎧-2,5 ⎫ ⎫² 
 K: ⎪ x - ⎪-0,5 ⎪ ⎪= 12,75
    ⎩     ⎩ 0,5 ⎭ ⎭

Centru şi rază:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
 M(-2,5|-0,5|0,5)
 r = 3,5707142

Intersecþii în spaþiu

Programul calculează secþiunile dintre drepte, plane şi sfere.

Două drepte


    ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫
g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

    ->  ⎧ 0 ⎫     ⎧ 1 ⎫
h : x = ⎪ 5 ⎪ + s·⎪ 0 ⎪
        ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Punct de intersec.: S(5|5|5)

Unghi de intersec.: 60°

Distanþe faþă de origine :
  d(O,g)=5  d(O,h)=5

Plan şi dreaptă

Plan E :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  E : x + y + z = 5

Dreaptă g :
¯¯¯¯¯¯¯¯
      ->  ⎧ 5 ⎫     ⎧ 0 ⎫
  g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
          ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Punct de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  S(5|0|0)

Unghi de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  alpha = 54,73561°

Sferă şi dreaptă

Sferă :
¯¯¯¯¯¯¯¯
  K : M(5|5|5) ,  r = 5

Dreaptă :
¯¯¯¯¯¯
     ->  ⎧ 1 ⎫     ⎧ 1 ⎫
 g : x = ⎪ 0 ⎪ + r·⎪ 1 ⎪
         ⎩ 0 ⎭     ⎩ 1 ⎭

Puncte de intersec. :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
S1(2,81867|1,81867|1,81867)
S2(8,51467|7,51467|7,51467)

Lungimea coardei :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  s = 9,8657657

Două plane

Sunt date cele două plane:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  E1 : 5·x - 2·y = 5
  E2 : 2·x - y + 5·z = 8

Dreapta de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
      ->  ⎧-11 ⎫     ⎧ 10 ⎫
  g : x = ⎪-30 ⎪ + r·⎪ 25 ⎪
          ⎩  0 ⎭     ⎩  1 ⎭

Distanþa faþă de origine:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  d = 1,5057283

Unghi de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  alpha = 65,993637°

Două sfere

Sunt date cele două sfere:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
K1 : M1(3|3|3) ,  r1 = 3
K2 : M2(1|1|1) ,  r2 = 3

Cercul de intersec.:
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  M(2|2|2), r = 2,4494897 

Planul de intersec. :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  E : x + y + z = 6

Sferă şi plan

Plan :
¯¯¯¯¯¯
 E : 5·x - 4·y + 5·z = -3

Sferă :
¯¯¯¯¯¯¯¯
     ⎧ ->   ⎧ 1 ⎫⎫²
 K : ⎪ x  - ⎪ 2 ⎪⎪ = 16
     ⎩      ⎩ 3 ⎭⎭

Cercul de intersec. :
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  M(1|1|1),  r = 2

Distanþe pe sferă (Nou în versiunea 9.0 din decembrie 2021)

Distanþa dintre două puncte pe o sferă este calculată. Programul este de asemenea potrivit pentru conversia gradelor zecimale în grade, minute şi secunde (dms) şi invers.

GPS zecimal
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  Berlin : 52.523403, 13.4114
New York : 40.714268, -74.005974

GPS dms
¯¯¯¯¯¯
  Berlin : 52° 31' 24.2508" N, 13° 24' 41.0400" E
New York : 40° 42' 51.3648" N, 74°  0' 21.5064" W
  .
  .
  .
  
Distanþă
¯¯¯¯¯¯¯¯
   d = r · α [rad] = 6385,112

eng.matheass.eu