MatheAss 10.0 − Стохастика

Статистика

Для списку даних визначаються середнє значення (арифметичне середнє), медіана, дисперсія та стандартне відхилення. Додатково будується розподіл у вигляді гістограми та Box-Plot.

Дані:
9 6 7 7 3 9 10 1 8 7 9 6 9 8 10 5 10 10 9 11 8

Кількість даних       n = 21
Максимум               max = 11
Мінімум                 min = 1
Середнє значення        x = 7,7142857
Медіана                 c = 8
Дисперсія               s² = 6,1142857
Стандартне відхилення   s = 2,4727082

Регресія

За допомогою цієї процедури можна виконати апроксимацію кривої для ряду вимірів. Можна обрати між такими видами апроксимації та за потреби всі точки змістити або розтягнути у напрямку x чи y.

Пряма через початок координат ( y = a·x )

Лінійна регресія ( y = a·x + b )

Поліноміальна регресія n-го порядку ( y = a₀ + ... + a_n·xⁿ )

Геометрична регресія ( y = a·x^b )

Експоненціальна регресія ( y = a·b^x )

Логарифмічна регресія ( y = a + b·ln(x) )

Разом із графіком виводяться функціональний вираз наближеної кривої, коефіцієнт детермінації, коефіцієнт кореляції та стандартне відхилення.

Поліноміальна регресія

y =  − 2,6299435
      + 3,8516949·x
      − 0,43361582·x²

Коефіцієнт детермінації     = 0,98338318
Коефіцієнт кореляції        = 0,99165679        
Стандартне відхилення       = 0,46028731

Логістична регресія (Нове у версії 9.0)

Програма визначає для ряду вимірів апроксимацію кривої логістичною функцією
з параметрами a₁ = ƒ(0)·S , a₂ = ƒ(0) , a₃ = S - ƒ(0) , та a₄ = -k·S і межею насичення S .

Дані з: "Hopfenwachstum.csv"

Межа насичення: 6
         Приховане значення: 1

                                 4,0189
ƒ(x) = ————————————————
             0,66981 + 5,3302 · e^(-0,35622·t)

Точка перегину W(5,8226/3)

Максимальна швидкість росту  ƒ'(xw) = 0,53433

8 значень 
Коефіцієнт детермінації      = 0,99383916
Коефіцієнт кореляції         = 0,99691482
Стандартне відхилення        = 0,16172584

Комбінаторика

Обчислюються кількості можливостей вибрати з n елементів k, якщо враховується порядок або ні та якщо повторення допускаються або ні.

n = 49 ,  k = 6

Впорядкований вибір без повторень = 10 068 347 520
Впорядкований вибір з повторенням = 13 841 287 201
Невпорядкований вибір без повторень = 13 983 816
Невпорядкований вибір з повторенням = 25 827 165

Пермутації з k :                k ! = 720

Біноміальний розподіл

Обчислюється для випадкової величини X, що має розподіл b(k;n;p) при фіксованих n та p:

- стовпчаста діаграма ймовірностей P( X = k )
- їх числові значення в інтервалі [k-min;k-max]
- ймовірність P( k-min <= X <= k-max)

n = 50             p = 0,3

    k             P(X=k)         P(0<=X<=k) 
  ¯¯¯¯    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯     ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    8         0,01098914     0,01825335
    9         0,02197829     0,04023163
  10        0,03861899     0,07885062
  11        0,06018544     0,13903606
  12        0,08382972     0,22286578
  13        0,10501745     0,32788324
  14        0,11894834     0,44683157
  15        0,12234686     0,56917844
  16        0,11470018     0,68387862
  17        0,09831444     0,78219306
  18        0,07724706     0,85944012
  19        0,05575728     0,91519740
  20        0,03703876     0,95223616
  21        0,02267679     0,97491296
  22        0,01281092     0,98772387
  ¯¯¯¯    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯     ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  P(8<=k<=22) =            0,98045967

Гіпергеометричний розподіл

Обчислюється для випадкової величини X, що має розподіл h(k;n;m;r) при фіксованих n, m та r: будується стовпчаста діаграма та таблиця значень ймовірностей P( X = k ).

Обчислюється для випадкової величини X, що має розподіл N(µ,σ²) з заданим математичним сподіванням µ та дисперсією σ²: визначаються функція густини ƒ(x) та функція розподілу Φ(x), тобто інтеграл від ƒ(x) .

  μ = 5              σ = .75

      x                      ƒ(x)                Φ(x)   
  ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯  ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯  ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
  2                    0,00017844   0,00003167
  2,33333333   0,00095649   0,00018859
  2,66666666   0,00420802   0,00093192
  2,99999999   0,01519465   0,00383038
  3,33333332   0,04503153   0,01313415
  3,66666665   0,10953585   0,03772017
  3,99999998   0,21868009   0,09121120
  4,33333331   0,35832381   0,18703139
  4,66666664   0,48189843   0,32836063
  4,99999997   0,53192304   0,49999998
  5,3333333     0,48189845   0,67163934
  5,66666663   0,35832383   0,81296859
  5,99999996   0,21868012   0,90878878
  6,33333329   0,10953586   0,96227982
  6,66666662   0,04503154   0,98686585
  6,99999995   0,01519465   0,99616962
  7,33333328   0,00420802   0,99906808
  7,66666661   0,00095649   0,99981141
  7,99999994   0,00017844   0,99996833